Resolva as integrais. ( 5 pontos)
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{sen}(2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{sen}(2x)\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é \operatorname{sen}(2x).
  • Os limites de integração são x=0 (inferior) e x=\tfrac{\pi}{2} (superior).
    A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Ideia de cálculo (explicação didática e fórmula útil).
  • Uma técnica simples aqui é a substituição: quando a função tem a forma \operatorname{sen}(a x) com a constante, uma substituição u=a x deixa a integral numa forma direta.
  • Também existe uma fórmula direta que se usa com frequência: a antiderivada de \operatorname{sen}(u) em relação a u é -\cos(u). Ou seja,
\int \operatorname{sen}(u)\,du = -\cos(u)+C.
Explicando cada coisa: em \int \operatorname{sen}(u)\,du, a variável de integração é u; ao derivar \cos(u) obtém-se -\operatorname{sen}(u), por isso a antiderivada de \operatorname{sen}(u) é -\cos(u).
  • Quando temos \operatorname{sen}(a x), a regra da cadeia implica que
\int \operatorname{sen}(a x)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(a x)+C,
porque derivando -\frac{1}{a}\cos(a x) \operatorname{sen}(a x) (ver demonstração no próximo passo).

Passo 3

Aplicando a substituição para este problema.
  • Faça u=2x. Então du = 2\,dx, ou seja dx=\dfrac{du}{2}.
  • Mudar os limites: quando x=0 temos u=2\cdot 0=0; quando x=\dfrac{\pi}{2} temos u=2\cdot \dfrac{\pi}{2}=\pi.
  • Substituindo na integral:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{sen}(2x)\,dx = \int_{u=0}^{u=\pi} \operatorname{sen}(u)\cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi} \operatorname{sen}(u)\,du.

Passo 4

Calcular a integral em u usando a antiderivada de \operatorname{sen}(u).
  • Sabemos que \int \operatorname{sen}(u)\,du = -\cos(u)+C.
  • Portanto, a integral definida fica
\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi} \operatorname{sen}(u)\,du = \frac{1}{2}\left[-\cos(u)\right]_{0}^{\pi} = \frac{1}{2}\bigl(-\cos(\pi)+\cos(0)\bigr).
  • Valores trigonométricos usados: \cos(\pi) = -1 e \cos(0)=1. Substituindo esses valores obtém-se
\frac{1}{2}\bigl(-(-1)+1\bigr).

Passo 5

Simplificando a expressão obtida no passo anterior:
\frac{1}{2}\bigl(-(-1)+1\bigr)=\frac{1}{2}(1+1)=\frac{1}{2}\cdot 2.

Resposta

\;1

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