Resolva as integrais. ( 5 pontos)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior).
A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral.
Passo 2
Ideia de cálculo (explicação didática e fórmula útil).
- Uma técnica simples aqui é a substituição: quando a função tem a forma
com constante, uma substituição deixa a integral numa forma direta. - Também existe uma fórmula direta que se usa com frequência: a antiderivada de
em relação a é . Ou seja,
Explicando cada coisa: em
, a variável de integração é
; ao derivar
obtém-se
, por isso a antiderivada de
é
.
- Quando temos
, a regra da cadeia implica que
porque derivando
dá
(ver demonstração no próximo passo).
Passo 3
Aplicando a substituição para este problema.
- Faça
. Então , ou seja . - Mudar os limites: quando
temos ; quando temos . - Substituindo na integral:
Passo 4
Calcular a integral em
usando a antiderivada de
.
- Sabemos que
. - Portanto, a integral definida fica
- Valores trigonométricos usados:
e . Substituindo esses valores obtém-se
Passo 5
Simplificando a expressão obtida no passo anterior: