Determine se a série converge ou diverge utilizando o Teste da Integral.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \cdot \ln (n)}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\ln(n)}
converge ou diverge. Informações dadas e observações imediatas:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{1}{n\ln(n)}.
  • A série começa em n=2.
  • Para n\ge2, cada a_n>0 porque n>0 e \ln(n)>0.
    A pergunta é única: decidir convergência ou divergência da soma infinita acima.

Passo 2

Plano de ataque (explicado didaticamente): vamos usar um teste que compara a soma com uma integral impropria. Primeiro explico o que é esse teste e por que ele funciona.
  • Enunciado do teste (em palavras): se existe uma função f(x) contínua, positiva e monótona decrescente em [N,\infty) tal que f(n)=a_n para n\ge N, então a série \sum_{n=N}^\infty a_n converge se, e somente se, a integral imprópria \int_{N}^{\infty} f(x)\,dx converge. Se a integral diverge, a série também diverge.
  • Por que isso faz sentido (intuição): as áreas dos retângulos de largura 1 e altura a_n=f(n) se comportam de forma comparável à área sob a curva y=f(x); se a área total sob a curva é infinita, os retângulos somados também dão área infinita, e vice-versa (essa é a ideia por trás do teste).
  • Aplicando ao nosso caso: escolhemos f(x)=\dfrac{1}{x\ln x} definida para x>1. Precisamos verificar as condições (continuidade, positividade e decrescimento) e, então, calcular a integral imprópria \int_{2}^{\infty}\dfrac{1}{x\ln x}\,dx.

Passo 3

Verificação das condições do teste para f(x)=\dfrac{1}{x\ln x} em [2,\infty).
  1. Continuidade e positividade:
  • Para x\ge2 temos \ln x>0 e x>0, logo f(x)>0.
  • A função é formada por operações contínuas em pontos com x>1, portanto é contínua em [2,\infty).
  1. Monotonicidade (mostrando que f é decrescente):
  • Calculamos a derivada f'(x). Usei produto e cadeia passo a passo:
    • Escreva f(x)=(\ln x)^{-1}\cdot x^{-1}.
    • Derivando: seja u=(\ln x)^{-1} e v=x^{-1}. Então u'=-\dfrac{1}{x(\ln x)^2} e v'=-x^{-2}.
    • Aplicando regra do produto:
    f'(x)=u'v+uv'=-\frac{1}{x(\ln x)^2}\cdot\frac{1}{x}-\frac{1}{\ln x}\cdot\frac{1}{x^2}.
    • Juntando termos com denominador comum x^2(\ln x)^2:
    f'(x)=-\frac{1+\ln x}{x^2(\ln x)^2}.
  • Para x\ge2 temos 1+\ln x>0, x^2>0 e (\ln x)^2>0, então f'(x)<0. Logo f é decrescente em [2,\infty).
Portanto todas as hipóteses do teste estão satisfeitas com N=2.

Passo 4

Cálculo da integral imprópria
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x\ln x}\,dx.
  • Substituição conveniente: defina u=\ln x. Então du=\dfrac{1}{x}\,dx, ou seja \dfrac{dx}{x}=du.
  • Mudança de limites: quando x=2, u=\ln 2. Quando x\to\infty, u\to\infty.
  • A integral transforma-se em
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x\ln x}\,dx = \int_{\ln 2}^{\infty} \frac{1}{u}\,du.
  • A integral de 1/u é \ln u, então
\int_{\ln 2}^{\infty} \frac{1}{u}\,du = \lim_{t\to\infty} \left[\ln u\right]_{u=\ln 2}^{u=t} = \lim_{t\to\infty} \big(\ln t - \ln(\ln 2)\big).
  • O termo \ln t tende a +\infty quando t\to\infty, logo a integral diverge (vai para infinito).

Passo 5

Conclusão pelo teste da integral: como a integral imprópria
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x\ln x}\,dx
diverge, e como as hipóteses do teste (continuidade, positividade e decrescimento) foram satisfeitas para f(x)=\dfrac{1}{x\ln x} em [2,\infty), a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\ln n}
também diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados