Determine se a série converge ou diverge utilizando o Teste da Integral.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Informações dadas e observações imediatas:
- O termo geral da série é
. - A série começa em
. - Para
, cada porque e .
A pergunta é única: decidir convergência ou divergência da soma infinita acima.
Passo 2
Plano de ataque (explicado didaticamente): vamos usar um teste que compara a soma com uma integral impropria. Primeiro explico o que é esse teste e por que ele funciona.
- Enunciado do teste (em palavras): se existe uma função
contínua, positiva e monótona decrescente em tal que para , então a série converge se, e somente se, a integral imprópria converge. Se a integral diverge, a série também diverge. - Por que isso faz sentido (intuição): as áreas dos retângulos de largura 1 e altura
se comportam de forma comparável à área sob a curva ; se a área total sob a curva é infinita, os retângulos somados também dão área infinita, e vice-versa (essa é a ideia por trás do teste). - Aplicando ao nosso caso: escolhemos
definida para . Precisamos verificar as condições (continuidade, positividade e decrescimento) e, então, calcular a integral imprópria .
Passo 3
Verificação das condições do teste para
em
.
- Continuidade e positividade:
- Para
temos e , logo . - A função é formada por operações contínuas em pontos com
, portanto é contínua em .
- Monotonicidade (mostrando que
é decrescente):
- Calculamos a derivada
. Usei produto e cadeia passo a passo: - Escreva
. - Derivando: seja
e . Então e . - Aplicando regra do produto:
- Juntando termos com denominador comum
:
- Escreva
- Para
temos , e , então . Logo é decrescente em .
Portanto todas as hipóteses do teste estão satisfeitas com
.
Passo 4
Cálculo da integral imprópria
- Substituição conveniente: defina
. Então , ou seja . - Mudança de limites: quando
, . Quando , . - A integral transforma-se em
- A integral de
é , então
- O termo
tende a quando , logo a integral diverge (vai para infinito).
Passo 5
Conclusão pelo teste da integral: como a integral imprópria
diverge, e como as hipóteses do teste (continuidade, positividade e decrescimento) foram satisfeitas para
em
, a série
também diverge.
Resposta
A série diverge.