Resolva as integrais a seguir:
integral arctg^3(x)1+x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral arctg^3(x)1+x^2,dx
O tema aqui é integração por substituição, pois temos uma função composta arctg(x) e sua derivada aparece em 1+x^2.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = arctg(x),
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du = 11+x^2,dx

Passo 3

Substituindo na integral, o fator dx1+x^2 vira du e arctg^3(x) vira u^3. Assim,
integral arctg^3(x)1+x^2,dx = integral u^3,du

Passo 4

Integral de u^3 é trivial:
integral u^3,du = u^44 + C

Passo 5

Voltando à variável original x, temos u=arctg(x), então
u^44 + C = arctg^4(x)4 + C

Resposta

arctg^4(x)4 + C

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