Resolva as integrais a seguir.
integral0^1(1-t)(2+t^2) d t

Passo 1

Vamos resolver a integral definida integral0^1(1-t)(2 + t^2) , dt. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais definidas, que é uma parte da cálculo integral. Para resolver, vamos precisar aplicar propriedades de integrais e simplificar a expressão dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral multiplicando os termos:
(1 - t)(2 + t^2) = 1 cdot 2 + 1 cdot t^2 - t cdot 2 - t cdot t^2 = 2 + t^2 - 2t - t^3
Então, a integral fica:
integral0^1 (2 + t^2 - 2t - t^3) , dt

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de uma soma é a soma das integrais:
integral0^1 2 , dt + integral0^1 t^2 , dt - integral0^1 2t , dt - integral0^1 t^3 , dt

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas integrais:
  1. integral 2 , dt = 2t
  2. integral t^2 , dt = t^33
  3. integral 2t , dt = t^2
  4. integral t^3 , dt = t^44

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de 0 a 1 em cada antiderivada:
  1. 2t |0^1 = 2(1) - 2(0) = 2
  2. t^33 |0^1 = 13 - 0 = 13
  3. t^2 |0^1 = 1 - 0 = 1
  4. t^44 |0^1 = 14 - 0 = 14

Passo 6

Substituímos esses valores na expressão original:
2 + 13 - 1 - 14

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão:
2 - 1 = 1
13 - 14 = 4 - 312 = 112
1 + 112 = 1312

Resposta

O valor da integral é 1312.

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