Encontre o polinômio interpolador
que interpola a função
para os seguintes valores de
,
0
0,6
0,9
1
1,26491
1,37840
utilizando as técnicas de interpolação:
c) Estime
, escolhendo um dos itens a ou b e compare com
|
0 | 0,6 | 0,9 |
|
1 | 1,26491 | 1,37840 |
c) Estime
Passo 1
Nesse exercício, queremos interpolar a função f(x)=√(1+x) nos pontos x₀=0, x₁=0,6 e x₂=0,9, obtendo um polinômio de grau 2 P₂(x). Depois, vamos estimar P₂(0,7) e compará-lo com o valor exato f(0,7). Usaremos o método das diferenças divididas de Newton.
Passo 2
Primeiro, computamos os valores de f nos pontos dados e as diferenças divididas:
f(x₀)=f(0)=1
f(x₁)=f(0,6)=1,26491
f(x₂)=f(0,9)=1,37840
f(x₀)=f(0)=1
f(x₁)=f(0,6)=1,26491
f(x₂)=f(0,9)=1,37840
definimos as diferenças divididas de primeira ordem
e a diferença dividida de segunda ordem
Passo 3
Com esses coeficientes, montamos o polinômio de Newton:
Substituindo os valores:
Expandindo para forma padrão:
Passo 4
Agora avaliamos em x=0,7:
O valor exato é f(0,7)=√1,7≈1,3038405. O erro absoluto fica:
Resposta
P₂(0,7)≈1,30414, enquanto f(0,7)=√1,7≈1,30384, resultando em erro absoluto ≈3,04×10^{-4}.