Encontre o polinômio interpolador P2(x) que interpola a função f(x)=raiz1+x para os seguintes valores de x,
|c|c|c|c| hline$x$ & 0 & 0,6 & 0,9 hline$y$ & 1 & 1,26491 & 1,37840 hline 0 0,6 0,9
P2(0,7) 1 1,26491 1,37840
utilizando as técnicas de interpolação:
c) Estime f(0,7) cdot(0,5), escolhendo um dos itens a ou b e compare com

Passo 1

Nesse exercício, queremos interpolar a função f(x)=√(1+x) nos pontos x₀=0, x₁=0,6 e x₂=0,9, obtendo um polinômio de grau 2 P₂(x). Depois, vamos estimar P₂(0,7) e compará-lo com o valor exato f(0,7). Usaremos o método das diferenças divididas de Newton.

Passo 2

Primeiro, computamos os valores de f nos pontos dados e as diferenças divididas:
f(x₀)=f(0)=1
f(x₁)=f(0,6)=1,26491
f(x₂)=f(0,9)=1,37840
definimos as diferenças divididas de primeira ordem
f[x₀,x₁]=f(x₁)-f(x₀)x₁-x₀=1,26491-10,6=0,44151667
f[x₁,x₂]=1,37840-1,264910,9-0,6=0,37830000
e a diferença dividida de segunda ordem
f[x₀,x₁,x₂]=f[x₁,x₂]-f[x₀,x₁]x₂-x₀=0,37830-0,441516670,9= -0,07024074

Passo 3

Com esses coeficientes, montamos o polinômio de Newton:
P₂(x)=f(x₀)+f[x₀,x₁](x-x₀)+f[x₀,x₁,x₂](x-x₀)(x-x₁)
Substituindo os valores:
P₂(x)=1+0,44151667,x-0,07024074,x(x-0,6)
Expandindo para forma padrão:
P₂(x)=1+0,48366111,x-0,07024074,x^2

Passo 4

Agora avaliamos em x=0,7:
P₂(0,7)=1+0,48366111times0,7-0,07024074times(0,7)^2approx1,3041448
O valor exato é f(0,7)=√1,7≈1,3038405. O erro absoluto fica:
|P₂(0,7)-f(0,7)|approx0,0003043

Resposta

P₂(0,7)≈1,30414, enquanto f(0,7)=√1,7≈1,30384, resultando em erro absoluto ≈3,04×10^{-4}.

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