Resolva as integrais a seguir.
integral cos x1+sin x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral cos x1 + sin x , dx. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar a integral transformando-a em uma forma mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Observando o denominador 1 + sin x, uma boa escolha é definir:
u = 1 + sin x
Isso é útil porque a derivada de sin x é cos x, que já aparece no numerador.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x para encontrar du:
dudx = cos x Rightarrow du = cos x , dx
Perceba que du é exatamente o numerador multiplicado por dx.

Passo 4

Com a substituição feita, podemos reescrever a integral em termos de u:
integral cos x1 + sin x , dx = integral duu
Isso simplifica bastante a integral, deixando-a em uma forma básica.

Passo 5

Agora, vamos integrar integral duu. Sabemos que a integral de 1u em relação a u é o logaritmo natural de u:
integral duu = ln |u| + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

Substituindo u de volta, a solução da integral é:
ln|1 + sin x| + C

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