Seja
f(x)=x^3x^2+1
a) Mostre que a reta y=x é uma assíntota oblíqua da curva y=f(x).

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a reta y=x é uma assíntota oblíqua da curva y=f(x), onde f(x)=x^3x^2+1. O conteúdo aqui é determinação de assíntota oblíqua, e vamos precisar usar as fórmulas para o coeficiente angular m e o coeficiente linear b da reta assimptótica.

Passo 2

Para definirmos uma assíntota oblíqua y=mx+b a xto+infty (ou -infty), usamos as expressões
m=limxtoinftyf(x)x, b=limxtoinfty(f(x)-m x)

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente angular m:
m=limxtoinftyf(x)x=limxtoinftyx^3/(x^2+1)x=limxtoinftyx^2x^2+1=1

Passo 4

Agora, encontramos o coeficiente linear b:
b=limxtoinftyl(f(x)-xr)=limxtoinftyl(x^3x^2+1-xr)=limxtoinftyx^3-x(x^2+1)x^2+1=limxtoinfty-xx^2+1=0

Passo 5

Como m=1 e b=0, concluímos que a reta assíntota oblíqua é y=1cdot x+0, ou seja, y=x.

Resposta

A reta y = x é a assíntota oblíqua de f(x).

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