1. (Valor: \mathbf{3 , 0} ) Considere a função vetorial da hélice cilíndrica reta, com \boldsymbol{t} \in[\mathbf{0}, \mathbf{2} \boldsymbol{\pi}]. Responda:
    a) Verifique se a função é contínua em t=\pi
    b) Calcule a função vetorial da velocidade e da aceleração.
    c) Ache o comprimento de curva entre t=0 e t=2 \pi.
    d) Prove que a curvatura k desta hélice, sendo k(t)=\frac{\left\|\vec{r}^{\prime}(t) \times \vec{r}^{\prime \prime}(t)\right\|}{\left\|\vec{r}^{\prime}(t)\right\|^{3}}\ e) Determine o vetor tangente unitário, normal unitário e binormal.áá

Passo 1

O enunciado pede várias coisas sobre a hélice cilíndrica reta no intervalo t\in[0,2\pi]. Vou considerar a forma usual e geral da hélice (seu enunciado não especificou parâmetros), com raio a>0 e passo (constante vertical por radiano) b\in\mathbb{R}. Assim tomo
\vec{r}(t)=\langle a\cos t,\; a\sin t,\; b t\rangle,\qquad t\in[0,2\pi].
As perguntas a responder são:
a) Verificar se \vec{r} é contínua em t=\pi.
b) Calcular a função vetorial da velocidade \vec{r}^{\prime}(t) e da aceleração \vec{r}^{\prime\prime}(t).
c) Calcular o comprimento de curva entre t=0 e t=2\pi.
d) Mostrar (usar) a curvatura definida por
k(t)=\frac{\left\|\vec{r}^{\prime}(t)\times\vec{r}^{\prime\prime}(t)\right\|}{\left\|\vec{r}^{\prime}(t)\right\|^{3}}
e) Determinar o vetor tangente unitário \vec{T}(t), o normal unitário \vec{N}(t) e o binormal \vec{B}(t).

Passo 2

Verificação de continuidade em t=\pi.
Uma função vetorial é contínua num ponto se cada componente escalar é contínua nesse ponto. As componentes de \vec{r}(t) são a\cos t,\; a\sin t,\; b t. As funções \cos t, \sin t e t são contínuas em todo \mathbb{R}, e multiplicação por constantes preserva continuidade. Logo \vec{r} é contínua em t=\pi. Para fixar o valor:
\vec{r}(\pi)=\langle a\cos\pi,\; a\sin\pi,\; b\pi\rangle=\langle -a,\;0,\; b\pi\rangle.
Portanto o limite quando t\to\pi existe e é igual a \vec{r}(\pi), mostrando continuidade.

Passo 3

Cálculo da velocidade \vec{r}^{\prime}(t) e aceleração \vec{r}^{\prime\prime}(t).
Derivamos componente a componente usando \frac{d}{dt}\cos t=-\sin t, \frac{d}{dt}\sin t=\cos t e \frac{d}{dt}(bt)=b.
Derivada primeira (velocidade):
\vec{r}^{\prime}(t)=\langle -a\sin t,\; a\cos t,\; b\rangle.
Derivada segunda (aceleração):
\vec{r}^{\prime\prime}(t)=\langle -a\cos t,\; -a\sin t,\; 0\rangle.
Essas são fórmulas diretas e prontas para usar nos itens seguintes.

Passo 4

Comprimento de arco entre t=0 e t=2\pi.
Fórmula: o comprimento s é
s=\int_{0}^{2\pi}\left\|\vec{r}^{\prime}(t)\right\|\,dt.
Calculamos \left\|\vec{r}^{\prime}(t)\right\| tomando a raiz da soma dos quadrados das componentes:
\left\|\vec{r}^{\prime}(t)\right\|=\sqrt{(-a\sin t)^2+(a\cos t)^2+b^2} =\sqrt{a^2(\sin^2 t+\cos^2 t)+b^2} =\sqrt{a^2+b^2}.
Observe que \left\|\vec{r}^{\prime}(t)\right\| é constante (não depende de t). Então
s=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{a^2+b^2}\,dt= \sqrt{a^2+b^2}\,\big[ t\big]_{0}^{2\pi}=2\pi\sqrt{a^2+b^2}.

Passo 5

Cálculo e prova da curvatura k(t).
Definição (que vamos usar): \displaystyle k(t)=\frac{\left\|\vec{r}^{\prime}(t)\times\vec{r}^{\prime\prime}(t)\right\|}{\left\|\vec{r}^{\prime}(t)\right\|^{3}}. Já temos \vec{r}^{\prime} e \vec{r}^{\prime\prime}. Vamos calcular o produto vetorial passo a passo.
Computando \vec{r}^{\prime}(t)\times\vec{r}^{\prime\prime}(t) pelo determinante:
\vec{r}^{\prime}\times\vec{r}^{\prime\prime} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[4pt] -a\sin t & a\cos t & b \\[4pt] -a\cos t & -a\sin t & 0 \end{vmatrix}.
Expandindo:
\vec{r}^{\prime}\times\vec{r}^{\prime\prime} = \mathbf{i}\big(a\cos t\cdot 0 - b\cdot(-a\sin t)\big) - \mathbf{j}\big((-a\sin t)\cdot 0 - b\cdot(-a\cos t)\big) + \mathbf{k}\big((-a\sin t)(-a\sin t) - (a\cos t)(-a\cos t)\big).
Simplificando cada componente:
\vec{r}^{\prime}\times\vec{r}^{\prime\prime} =\langle ab\sin t,\; -ab\cos t,\; a^2(\sin^2 t+\cos^2 t)\rangle =\langle ab\sin t,\; -ab\cos t,\; a^2\rangle.
Norma do produto vetorial:
\left\|\vec{r}^{\prime}\times\vec{r}^{\prime\prime}\right\| =\sqrt{(ab\sin t)^2+(-ab\cos t)^2+(a^2)^2} =\sqrt{a^2b^2(\sin^2 t+\cos^2 t)+a^4} =\sqrt{a^2b^2+a^4} =a\sqrt{a^2+b^2}.
Já tínhamos \left\|\vec{r}^{\prime}(t)\right\|=\sqrt{a^2+b^2}. Então a curvatura fica
k(t)=\frac{a\sqrt{a^2+b^2}}{(\sqrt{a^2+b^2})^3} =\frac{a\sqrt{a^2+b^2}}{(a^2+b^2)^{3/2}} =\frac{a}{a^2+b^2}.
Conclusão importante: a curvatura é constante (não depende de t) e vale \displaystyle k=\frac{a}{a^2+b^2}.]

Passo 6

Vetor tangente unitário \vec{T}(t).
Definição: \vec{T}(t)=\dfrac{\vec{r}^{\prime}(t)}{\left\|\vec{r}^{\prime}(t)\right\|}. Como \left\|\vec{r}^{\prime}(t)\right\|=\sqrt{a^2+b^2}, temos
\vec{T}(t)=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\langle -a\sin t,\; a\cos t,\; b\rangle.

Passo 7

Vetor normal unitário \vec{N}(t).
Definição: \vec{N}(t)=\dfrac{\vec{T}^{\prime}(t)}{\|\vec{T}^{\prime}(t)\|}. Aqui há um atalho prático: quando \|\vec{r}^{\prime}(t)\| é constante (como é o caso), \vec{T}^{\prime}(t)=\dfrac{\vec{r}^{\prime\prime}(t)}{\|\vec{r}^{\prime}\|}. Já calculamos \vec{r}^{\prime\prime}(t)=\langle -a\cos t,-a\sin t,0\rangle e \|\vec{r}^{\prime}\|=\sqrt{a^2+b^2}. Assim
\vec{T}^{\prime}(t)=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\langle -a\cos t,-a\sin t,0\rangle.
A norma de \vec{T}^{\prime} é
\|\vec{T}^{\prime}(t)\|=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot\sqrt{(-a\cos t)^2+(-a\sin t)^2} =\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot a.
Portanto
\vec{N}(t)=\frac{\vec{T}^{\prime}(t)}{\|\vec{T}^{\prime}(t)\|}=\frac{\dfrac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\langle -a\cos t,-a\sin t,0\rangle}{\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}} =\frac{1}{a}\langle -a\cos t,-a\sin t,0\rangle=\langle -\cos t,\; -\sin t,\; 0\rangle.
Nota intuitiva: \vec{N}(t) aponta radialmente para o centro da hélice (é o vetor radial unitário negativo).

Passo 8

Vetor binormal \vec{B}(t).
Definição: \vec{B}(t)=\vec{T}(t)\times\vec{N}(t). Outra forma prática é normalizar \vec{r}^{\prime}\times\vec{r}^{\prime\prime}. Usando o produto vetorial encontrado no Passo 5, e sua norma a\sqrt{a^2+b^2}, obtemos
\vec{B}(t)=\frac{\vec{r}^{\prime}\times\vec{r}^{\prime\prime}}{\left\|\vec{r}^{\prime}\times\vec{r}^{\prime\prime}\right\|} =\frac{1}{a\sqrt{a^2+b^2}}\langle ab\sin t,\; -ab\cos t,\; a^2\rangle.
Simplificando:
\vec{B}(t)=\Big\langle \frac{b\sin t}{\sqrt{a^2+b^2}},\; -\frac{b\cos t}{\sqrt{a^2+b^2}},\; \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\Big\rangle.
(Se preferir, pode-se também verificar que \vec{B}=\vec{T}\times\vec{N} dá o mesmo resultado.)

Resposta

a) Sim, \vec{r} é contínua em t=\pi e \displaystyle \vec{r}(\pi)=\langle -a,\;0,\;b\pi\rangle.
b) \displaystyle \vec{r}^{\prime}(t)=\langle -a\sin t,\; a\cos t,\; b\rangle,\qquad \vec{r}^{\prime\prime}(t)=\langle -a\cos t,\; -a\sin t,\; 0\rangle.
c) \displaystyle s=\;2\pi\sqrt{a^2+b^2}.
d) \displaystyle k(t)=\frac{a}{a^2+b^2} (curvatura constante).
e) \displaystyle \vec{T}(t)=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\langle -a\sin t,\; a\cos t,\; b\rangle,
\displaystyle \vec{N}(t)=\langle -\cos t,\; -\sin t,\; 0\rangle,
\displaystyle \vec{B}(t)=\Big\langle \frac{b\sin t}{\sqrt{a^2+b^2}},\; -\frac{b\cos t}{\sqrt{a^2+b^2}},\; \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\Big\rangle.

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