(Valor: \mathbf{3 , 0} ) Considere a função vetorial da hélice cilíndrica reta, com \boldsymbol{t} \in[\mathbf{0}, \mathbf{2} \boldsymbol{\pi}]. Responda:
a) Verifique se a função é contínua em t=\pi
b) Calcule a função vetorial da velocidade e da aceleração.
c) Ache o comprimento de curva entre t=0 e t=2 \pi.
d) Prove que a curvatura k desta hélice, sendo k(t)=\frac{\left\|\vec{r}^{\prime}(t) \times \vec{r}^{\prime \prime}(t)\right\|}{\left\|\vec{r}^{\prime}(t)\right\|^{3}}\
e) Determine o vetor tangente unitário, normal unitário e binormal.
Passo 1
O enunciado pede várias coisas sobre a hélice cilíndrica reta no intervalo t\in[0,2\pi]. Vou considerar a forma usual e geral da hélice (seu enunciado não especificou parâmetros), com raio a>0 e passo (constante vertical por radiano) b\in\mathbb{R}. Assim tomo
\vec{r}(t)=\langle a\cos t,\; a\sin t,\; b t\rangle,\qquad t\in[0,2\pi].
As perguntas a responder são:
a) Verificar se \vec{r} é contínua em t=\pi.
b) Calcular a função vetorial da velocidade \vec{r}^{\prime}(t) e da aceleração \vec{r}^{\prime\prime}(t).
c) Calcular o comprimento de curva entre t=0 e t=2\pi.
d) Mostrar (usar) a curvatura definida por
e) Determinar o vetor tangente unitário \vec{T}(t), o normal unitário \vec{N}(t) e o binormal \vec{B}(t).
Passo 2
Verificação de continuidade em t=\pi.
Uma função vetorial é contínua num ponto se cada componente escalar é contínua nesse ponto. As componentes de \vec{r}(t) são a\cos t,\; a\sin t,\; b t. As funções \cos t, \sin t e t são contínuas em todo \mathbb{R}, e multiplicação por constantes preserva continuidade. Logo \vec{r} é contínua em t=\pi. Para fixar o valor:
Portanto o limite quando t\to\pi existe e é igual a \vec{r}(\pi), mostrando continuidade.
Passo 3
Cálculo da velocidade \vec{r}^{\prime}(t) e aceleração \vec{r}^{\prime\prime}(t).
Derivamos componente a componente usando \frac{d}{dt}\cos t=-\sin t, \frac{d}{dt}\sin t=\cos t e \frac{d}{dt}(bt)=b.
Cálculo e prova da curvatura k(t).
Definição (que vamos usar): \displaystyle k(t)=\frac{\left\|\vec{r}^{\prime}(t)\times\vec{r}^{\prime\prime}(t)\right\|}{\left\|\vec{r}^{\prime}(t)\right\|^{3}}. Já temos \vec{r}^{\prime} e \vec{r}^{\prime\prime}. Vamos calcular o produto vetorial passo a passo.
Computando \vec{r}^{\prime}(t)\times\vec{r}^{\prime\prime}(t) pelo determinante:
\vec{r}^{\prime}\times\vec{r}^{\prime\prime} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[4pt] -a\sin t & a\cos t & b \\[4pt] -a\cos t & -a\sin t & 0 \end{vmatrix}.
Vetor normal unitário \vec{N}(t).
Definição: \vec{N}(t)=\dfrac{\vec{T}^{\prime}(t)}{\|\vec{T}^{\prime}(t)\|}. Aqui há um atalho prático: quando \|\vec{r}^{\prime}(t)\| é constante (como é o caso), \vec{T}^{\prime}(t)=\dfrac{\vec{r}^{\prime\prime}(t)}{\|\vec{r}^{\prime}\|}. Já calculamos \vec{r}^{\prime\prime}(t)=\langle -a\cos t,-a\sin t,0\rangle e \|\vec{r}^{\prime}\|=\sqrt{a^2+b^2}. Assim
Nota intuitiva: \vec{N}(t) aponta radialmente para o centro da hélice (é o vetor radial unitário negativo).
Passo 8
Vetor binormal \vec{B}(t).
Definição: \vec{B}(t)=\vec{T}(t)\times\vec{N}(t). Outra forma prática é normalizar \vec{r}^{\prime}\times\vec{r}^{\prime\prime}. Usando o produto vetorial encontrado no Passo 5, e sua norma a\sqrt{a^2+b^2}, obtemos