Resolva as integrais de superfície em campo escalar:
\iint_{S} x^{2} y^{2} z d S em que S é a parte do cone z^{2}=x^{2}+y^{2} com 2 \leq z \leq 4.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de superfície
\iint_{S}x^{2}y^{2}z\,dS
em que S é a parte do cone z^{2}=x^{2}+y^{2} com 2\le z\le4.
O conteúdo envolve parametrização de superfície e cálculo de \displaystyle\iint_{S}f\,dS=\iint_{D}f\bigl(\mathbf X(u,v)\bigr)\,\bigl\lvert\mathbf X_{u}\times\mathbf X_{v}\bigr\rvert\,du\,dv.

Passo 2

Parametrizamos o cone usando coordenadas cilíndricas adaptadas. Definimos
\mathbf X(\theta,z)=\bigl(z\cos\theta,\;z\sin\theta,\;z\bigr),
com \theta\in[0,2\pi] e z\in[2,4].
Então
\iint_{S}x^{2}y^{2}z\,dS =\int_{z=2}^{4}\int_{\theta=0}^{2\pi} \bigl(x(\theta,z)\bigr)^{2}\bigl(y(\theta,z)\bigr)^{2}\,z\;\bigl\lvert\mathbf X_{\theta}\times\mathbf X_{z}\bigr\rvert \,d\theta\,dz.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais e o módulo do produto vetorial:
\mathbf X_{\theta}=(-z\sin\theta,\;z\cos\theta,0), \quad \mathbf X_{z}=(\cos\theta,\;\sin\theta,1),
\mathbf X_{\theta}\times\mathbf X_{z} =(z\cos\theta,\;z\sin\theta,\;-z),
\bigl\lvert\mathbf X_{\theta}\times\mathbf X_{z}\bigr\rvert =\sqrt{z^{2}\cos^{2}\theta+z^{2}\sin^{2}\theta+z^{2}} =z\sqrt{2}.

Passo 4

No integrando temos x=z\cos\theta e y=z\sin\theta, logo
x^{2}y^{2}z =(z\cos\theta)^{2}(z\sin\theta)^{2}\,z =z^{5}\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta.
Multiplicando por dS=z\sqrt2\,d\theta\,dz resulta
\iint_{S}x^{2}y^{2}z\,dS =\sqrt{2}\int_{2}^{4}\int_{0}^{2\pi}z^{6}\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta \,d\theta\,dz.

Passo 5

A integral em \theta é
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{4}\sin^{2}(2\theta)\,d\theta =\frac{1}{4}\cdot\pi =\frac{\pi}{4}.
Logo
\iint_{S}x^{2}y^{2}z\,dS =\sqrt{2}\,\frac{\pi}{4}\int_{2}^{4}z^{6}\,dz =\frac{\sqrt{2}\,\pi}{4}\Bigl[\frac{z^{7}}{7}\Bigr]_{2}^{4}.

Passo 6

Calculando a integral em z:
\Bigl[\frac{z^{7}}{7}\Bigr]_{2}^{4} =\frac{4^{7}-2^{7}}{7} =\frac{16256}{7} =\frac{4064}{7}\times4,
portanto
\iint_{S}x^{2}y^{2}z\,dS =\frac{\sqrt{2}\,\pi}{4}\cdot\frac{16256}{7} =\frac{4064}{7}\,\sqrt{2}\,\pi.

Resposta

\boxed{\frac{4064\sqrt{2}\,\pi}{7}}

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