Resolva as integrais de superfície em campo escalar: \iint_{S} x^{2} y^{2} z d S em que S é a parte do cone z^{2}=x^{2}+y^{2} com 2 \leq z \leq 4.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de superfície
\iint_{S}x^{2}y^{2}z\,dS
em que S é a parte do cone z^{2}=x^{2}+y^{2} com 2\le z\le4.
O conteúdo envolve parametrização de superfície e cálculo de \displaystyle\iint_{S}f\,dS=\iint_{D}f\bigl(\mathbf X(u,v)\bigr)\,\bigl\lvert\mathbf X_{u}\times\mathbf X_{v}\bigr\rvert\,du\,dv.
Passo 2
Parametrizamos o cone usando coordenadas cilíndricas adaptadas. Definimos