Resolva as integrais de superficie em campo vetorial:
em que S é a superfície
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
através da superfície
dada pelo paraboloide
O conteúdo é integral de superfície de campo vetorial (fluxo) e vamos usar parametrização por grafo.
Passo 2
Parametrizamos
como grafo de
sobre o disco
:
A parametrização é
Para o fluxo escolhemos a normal com componente em
positiva, cujo vetor de área é
Passo 3
Substituímos na expressão do fluxo
Temos
logo
Passo 4
Agora calculamos
onde
é o disco de raio 1. Em coordenadas polares
:
Então
Integramos em
:
e em
:
Logo o fluxo é