Resolva as integrais de superficie em campo vetorial:
\iint_{S}(0, y,-z) d S em que S é a superfície y=x^{2}+z^{2}, 0 \leq y \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
F(x,y,z) = (0,\,y,\,-z)
através da superfície S dada pelo paraboloide
y = x^2 + z^2, \quad 0 \le y \le 1.
O conteúdo é integral de superfície de campo vetorial (fluxo) e vamos usar parametrização por grafo.

Passo 2

Parametrizamos S como grafo de y=f(x,z) sobre o disco D\subset \mathbb{R}^2:
f(x,z)=x^2+z^2, \quad D=\{(x,z)\mid x^2+z^2\le1\}.
A parametrização é
\mathbf r(x,z) = \bigl(x,\;f(x,z),\;z\bigr).
Para o fluxo escolhemos a normal com componente em y positiva, cujo vetor de área é
\mathbf n\,dS = \bigl(-f_x,\,1,\,-f_z\bigr)\,dA = \bigl(-2x,\,1,\,-2z\bigr)\,dA.

Passo 3

Substituímos na expressão do fluxo
\iint_S F\cdot d\mathbf S = \iint_D F\bigl(\mathbf r(x,z)\bigr)\cdot\mathbf n\,dS.
Temos
F\bigl(\mathbf r(x,z)\bigr) = \bigl(0,\;x^2+z^2,\;-z\bigr),
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F\cdot\mathbf n = 0\cdot(-2x) \;+\;(x^2+z^2)\cdot1\;+\;(-z)\cdot(-2z) = x^2+z^2 +2z^2 = x^2+3z^2.

Passo 4

Agora calculamos
\iint_D (x^2+3z^2)\,dA,
onde D é o disco de raio 1. Em coordenadas polares (x,z)=(r\cos\theta,r\sin\theta):
x^2+3z^2 = r^2\cos^2\theta +3r^2\sin^2\theta = r^2\bigl(\cos^2\theta+3\sin^2\theta\bigr), \quad dA = r\,dr\,d\theta.
Então
\iint_D (x^2+3z^2)\,dA = \int_{\theta=0}^{2\pi}\!\!\int_{r=0}^{1} r^3\bigl(\cos^2\theta+3\sin^2\theta\bigr)\,dr\,d\theta.
Integramos em r:
\int_0^1 r^3\,dr = \tfrac14,
e em \theta:
\int_0^{2\pi}(\cos^2\theta+3\sin^2\theta)\,d\theta = \int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta +3\int_0^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta = \pi +3\pi =4\pi.
Logo o fluxo é
\tfrac14\cdot4\pi = \pi.

Resposta

\pi

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