Ache o limite das sequências abaixo e justifique.
a_{n}=\sqrt{\frac{2 n}{n+1}}\

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_{n} = \sqrt{\frac{2\,n}{\,n+1\,}}
e pede para calcular \lim_{n\to\infty}a_{n}. O conteúdo principal é limite de sequência e uso de propriedades algébricas para simplificar a expressão.

Passo 2

Dentro da raiz, divida numerador e denominador por n:
\frac{2\,n}{n+1} = \frac{2\,n/n}{(n+1)/n} = \frac{2}{1 + \tfrac{1}{n}}.
Portanto
a_{n} = \sqrt{\frac{2}{1 + \tfrac{1}{n}}}.

Passo 3

Agora calcule o limite do quociente quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{2}{1 + \tfrac{1}{n}} = \frac{2}{1 + 0} = 2.
Como a função f(x)=\sqrt{x} é contínua para x>0, vale
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty} \sqrt{\frac{2}{1 + \tfrac{1}{n}}} = \sqrt{\lim_{n\to\infty}\frac{2}{1 + \tfrac{1}{n}}} = \sqrt{2}.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n} = \sqrt{2}.

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