Resolva as integrais usando frações parciais.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral0^1 22x^2+3x+1,dx. O conteúdo é frações parciais, então vamos decompor a função racional e usar propriedades de logaritmo para integrar.

Passo 2

Fatoramos o denominador do integrando para identificar os termos para decomposição:
2x^2 + 3x + 1 = (2x+1)(x+1)

Passo 3

Expressamos a fração como soma de frações parciais:
2(2x+1)(x+1) = A2x+1 + Bx+1
Multiplicando ambos os lados por (2x+1)(x+1) resulta:
2 = A(x+1) + B(2x+1)
Igualando coeficientes obtemos o sistema:
A + 2B = 0, A + B = 2
Resolvendo vem B = -2 e A = 4.

Passo 4

Substituindo os valores de A e B na integral original, temos:
integral0^1 22x^2+3x+1,dx = integral0^1 l(42x+1 - 2x+1r) dx
Agora integramos termo a termo:
integral 42x+1dx = 2ln|2x+1|, integral 2x+1dx = 2ln|x+1|
Logo o antiderivado é 2ln|2x+1| - 2ln|x+1|.

Passo 5

Avaliando de x=0 a x=1 obtemos:
l[2ln(2x+1) - 2ln(x+1)r]0^1 = (2ln3 - 2ln2) - 0 = 2lntfrac32

Resposta

2\ln\left(\tfrac{3}{2}\right)

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