Resolva as integrais usando frações parciais.
$ \int \frac{1}{x(x-a)} d x$

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral 1x(x-a),dx usando frações parciais. Esse método consiste em escrever a função racional como soma de frações mais simples e depois integrar cada uma.

Passo 2

Para decompor, assumimos que 1x(x-a)=Ax+Bx-a. Multiplicando ambos os lados por x(x-a), obtemos:
1 = A(x-a) + Bx

Passo 3

Expandindo o lado direito e comparando coeficientes de x e termo independente,
(A+B)x - A a = 1

Passo 4

Isso gera o sistema de equações:
A+B=0-A a=1

Passo 5

Da segunda equação vem A=-tfrac1a. Substituindo em A+B=0, obtemos B=tfrac1a.

Passo 6

Agora a integral fica:
integral1x(x-a),dx=integrall(-1acdot1x+1acdot1x-ar)dx

Passo 7

Separamos e integramos cada termo:
-1aintegral1xdx+1aintegral1x-adx=-1aln|x|+1aln|x-a|+C

Resposta

1alngl|x-axgr|+C

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