Resolva as integrais utilizando as técnicas adequadas:
integral x cdot e^x^2 d x

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver a integral integral x cdot e^x^2 , dx. Esse tipo de integral está relacionado ao cálculo integral, mais especificamente à técnica de substituição, também conhecida como mudança de variável. Para resolver essa integral, vamos precisar identificar uma parte da expressão que podemos substituir para simplificar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar uma substituição para tornar a integral mais simples. Observando a função x cdot e^x^2, percebo que dentro do expoente temos x^2, cuja derivada é 2x. Isso sugere que podemos usar u = x^2 como substituição.

Passo 3

Com a substituição u = x^2, precisamos expressar dx em termos de du. Vamos derivar u em relação a x:
dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx
Isso significa que x , dx = du2.

Passo 4

Agora, substituímos u e x , dx na integral original:
integral x cdot e^x^2 , dx = integral e^u cdot du2 = 12 integral e^u , du
Essa nova integral é bem mais simples de resolver.

Passo 5

A integral de e^u em relação a u é simplesmente e^u + C, onde C é a constante de integração. Então:
12 integral e^u , du = 12 e^u + C

Passo 6

Por fim, desfazemos a substituição que fizemos no início, substituindo u por x^2:
12 e^u + C = 12 e^x^2 + C

Resposta

A integral integral x cdot e^x^2 , dx é igual a 12 e^x^2 + C, onde C é a constante de integração.

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