Resolva as integrais utilizando as técnicas adequadas:
integral x^3 cdot e^x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x^3 cdot e^x^2 , dx. Esse tipo de integral envolve polinômios e funções exponenciais, então vamos precisar usar uma técnica chamada integração por substituição. Basicamente, a gente vai mudar a variável para simplificar a integral e depois voltar para a original no final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que, se substituída por uma nova variável, facilitaria a integração. Observando integral x^3 cdot e^x^2 , dx, notamos que o expoente de e é x^2. Então, vamos fazer uma substituição onde:
u = x^2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x, que é du/dx:
du/dx = 2x
Assim, podemos rearranjar para encontrar dx:
dx = du2x

Passo 4

Vamos substituir u e dx na integral original:
integral x^3 cdot e^x^2 , dx = integral x^3 cdot e^u cdot du2x
Simplificando os termos:
= integral x^22 cdot e^u , du

Passo 5

Lembrando que u = x^2, então x^2 = u. Substituindo isso na integral:
= integral u2 cdot e^u , du
Podemos tirar a constante 12 para fora da integral:
= 12 integral u cdot e^u , du

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral integral u cdot e^u , du. Para isso, vamos usar a integração por partes, que diz que:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
u = u dv = e^u , du
Então, calculamos du e v:
du = du v = e^u

Passo 7

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u cdot e^u , du = u cdot e^u - integral e^u , du
A integral integral e^u , du é simplesmente e^u, então:
= u cdot e^u - e^u + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Voltando à nossa integral original:
12 integral u cdot e^u , du = 12 ( u cdot e^u - e^u ) + C
Agora, substituímos u = x^2:
= 12 ( x^2 cdot e^x^2 - e^x^2 ) + C
Podemos fatorar e^x^2:
= e^x^22 ( x^2 - 1 ) + C

Resposta

A integral integral x^3 cdot e^x^2 , dx é igual a:
e^x^22 ( x^2 - 1 ) + C

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