Resolva as integrais utilizando as técnicas adequadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse tipo de integral envolve polinômios e funções exponenciais, então vamos precisar usar uma técnica chamada integração por substituição. Basicamente, a gente vai mudar a variável para simplificar a integral e depois voltar para a original no final.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que, se substituída por uma nova variável, facilitaria a integração. Observando
, notamos que o expoente de
é
. Então, vamos fazer uma substituição onde:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
:
Assim, podemos rearranjar para encontrar
:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original:
Simplificando os termos:
Passo 5
Lembrando que
, então
. Substituindo isso na integral:
Podemos tirar a constante
para fora da integral:
Passo 6
Agora, precisamos resolver a integral
. Para isso, vamos usar a integração por partes, que diz que:
Vamos escolher:
Então, calculamos
e
:
Passo 7
Aplicando a fórmula de integração por partes:
A integral
é simplesmente
, então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Voltando à nossa integral original:
Agora, substituímos
:
Podemos fatorar
:
Resposta
A integral
é igual a: