Resolva as integrais utilizando as técnicas adequadas:
integral x cdot sec ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x cdot sec^2 x , dx. Essa questão envolve o conteúdo de técnicas de integração, especificamente a integração por partes. Para resolver, vamos precisar identificar quais partes da expressão vamos diferenciar e integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. Essa técnica é baseada na fórmula:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será u e qual será dv. Geralmente, escolhemos u como algo que fica mais simples quando derivado.

Passo 3

Vamos então escolher:
u = x Rightarrow du = dx
dv = sec^2 x , dx Rightarrow v = tan x
Lembra que a integral de sec^2 x é tan x, porque a derivada de tan x é sec^2 x.

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral x cdot sec^2 x , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= x cdot tan x - integral tan x cdot dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral integral tan x , dx. Sabemos que:
integral tan x , dx = -ln |cos x| + C
Então, substituindo de volta:
= x cdot tan x - (-ln |cos x|) + C
\

Passo 6

Simplificando a expressão:
= x cdot tan x + ln |cos x| + C

Resposta

A integral integral x cdot sec^2 x , dx é igual a:
x cdot tan x + ln |cos x| + C
onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados