Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:
f(t)=e^-t i+e^-2 t j+k

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função vetorial vec f(t)=e^-t,vec i + e^-2t,vec j + vec k. O conteúdo é derivada de função vetorial, que se faz derivando componente a componente.

Passo 2

Para derivar uma função vetorial, aplicamos a operação dfracddt em cada componente escalar de forma independente, mantendo as direções vec i,vec j,vec k.
Derivando a primeira componente: a derivada de e^-t é -e^-t. Logo, dfracddtl(e^-tr) = -e^-t.
Derivando a segunda componente: a derivada de e^-2t é -2e^-2t pela regra da cadeia, pois dfracddte^u(t)=u'(t)e^u(t) e aqui u(t)=-2t tem u'(t)=-2.
A terceira componente é constante 1 multiplicando vec k, então sua derivada é zero.

Passo 3

Reunindo os resultados e descartando o termo nulo, obtemos a derivada vetorial final.

Resposta

vec f,'(t) = -e^-t,vec i -2e^-2t,vec j

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