Resolva a integral:
integral cotg^3(4 x) csc ^5(4 x) d x

Passo 1

Temos a integral integral cot^3(4x),csc^5(4x),dx. O conteúdo é integração de funções trigonométricas usando substituição simples.

Passo 2

Observe que podemos escrever csc^5(4x)=csc^2(4x),csc^3(4x). Assim,
integral cot^3(4x),csc^5(4x),dx =integral cot^3(4x),csc^3(4x),l(csc^2(4x),dxr)

Passo 3

Fazendo a substituição u=cot(4x), temos du=-4,csc^2(4x),dx, ou seja, csc^2(4x),dx=-tfrac14,du. Portanto:
integral cot^3(4x),csc^5(4x),dx =-14integral u^3,csc^3(4x),du

Passo 4

Como csc^2(4x)=1+cot^2(4x)=1+u^2, segue csc^3(4x)=(1+u^2)^3/2. Logo
-14integral u^3,(1+u^2)^3/2,du

Passo 5

Agora, faça v=1+u^2, então dv=2u,du e u^3,du=(v-1),u,du=(v-1)dv2. A integral vira
-14integral u^3(1+u^2)^3/2,du =-18integrall(v^5/2-v^3/2r),dv

Passo 6

Integramos termo a termo:
integral v^5/2,dv=27v^7/2, integral v^3/2,dv=25v^5/2

Passo 7

Logo o resultado é
-18l(tfrac27v^7/2-tfrac25v^5/2r) =-128v^7/2+120v^5/2+C

Passo 8

Por fim, voltando v=1+u^2=1+cot^2(4x)=csc^2(4x), temos v^7/2=csc^7(4x) e v^5/2=csc^5(4x). Portanto, a solução final é -128csc^7(4x)+120csc^5(4x)+C.

Resposta

-\tfrac{1}{28},\csc7(4x)+\tfrac{1}{20},\csc5(4x)+C

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