Calcule a integral de superficie integralegral duplaS F cdot d S para o campo vetorial F e a superfície orientada S .
F(x y, z)=y i+x j+z^2 k, em que S é o helicóide com equação r(u, v)=(u cos v, u sin v, v), 0 <= u <= 1,0 <= v <= pi, com orientação para cima;

Passo 1

O enunciado pede pra gente calcular a integral de superfície integral duplaS Fcdot d S do campo F(x,y,z)=y, i+x, j+z^2, k sobre o helicoide parametrizado por r(u,v)=(ucos v,usin v,v), com 0<= u<=1, 0<= v<=pi e orientação “para cima”. O assunto é integral de superfície de campo vetorial e vamos precisar da fórmula
integral duplaS Fcdot d S=integral duplaD Fl(r(u,v)r)cdotl(rutimes rvr),dA

Passo 2

A gente começa calculando os vetores parciais da parametrização. Como
r(u,v)=(ucos v,;usin v,;v),
temos
ru=(cos v,;sin v,;0),
rv=(-usin v,;ucos v,;1)

Passo 3

Em seguida fazemos o produto vetorial para achar o vetor normal orientado pra cima. Calculando
rutimes rv= i & j & k cos v & sin v & 0 - usin v & ucos v & 1 =(sin v,;-cos v,;u)

Passo 4

Agora avaliamos o campo em r(u,v):
Fl(r(u,v)r)=(usin v,;ucos v,;v^2)
Fazendo o produto escalar com o normal:
F(r)cdot(rutimes rv)=usin vcdotsin v+ucos vcdot(-cos v)+v^2cdot u =ul(sin^2v-cos^2vr)+u,v^2

Passo 5

Por fim, integramos em u e v:
integral duplaS Fcdot d S= integralu=0^1integralv=0^pil[u(sin^2v-cos^2v)+u,v^2r]dv,du
Sabendo que
integral0^pi(sin^2v-cos^2v)dv=0,
só resta
integral0^1u,duintegral0^piv^2dv=l[tfracu^22r]0^1cdotl[tfracv^33r]0^pi=tfrac12cdottfracpi^33=tfracpi^36

Resposta

dfracpi^36

Exercícios relacionados