Calcule a integral de superficie para o campo vetorial e a superfície orientada S . , em que é o helicóide com equação , com orientação para cima;
Passo 1
O enunciado pede pra gente calcular a integral de superfície do campo sobre o helicoide parametrizado por , com , e orientação “para cima”. O assunto é integral de superfície de campo vetorial e vamos precisar da fórmula
Passo 2
A gente começa calculando os vetores parciais da parametrização. Como
temos
Passo 3
Em seguida fazemos o produto vetorial para achar o vetor normal orientado pra cima. Calculando
Passo 4
Agora avaliamos o campo em r(u,v):
Fl(r(u,v)r)=(usin v,;ucos v,;v^2)
Fazendo o produto escalar com o normal:
F(r)cdot(rutimes rv)=usin vcdotsin v+ucos vcdot(-cos v)+v^2cdot u =ul(sin^2v-cos^2vr)+u,v^2
Passo 5
Por fim, integramos em u e v:
integral duplaS Fcdot d S= integralu=0^1integralv=0^pil[u(sin^2v-cos^2v)+u,v^2r]dv,du