Calcular a área da superfície de revolução gerada pela rotação em torno do eixo dos x do arco y=raiz1+e^x no intervalo [0,2].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da superfície obtida pela rotação em torno do eixo x do arco y=√(1+e^x) no intervalo [0,2]. O conteúdo aqui é área de superfície de revolução, cujo ponto de partida é a fórmula
S=2piintegrala^b yraiz1+l(y'r)^2,dx
vamos precisar do valor de y’ e de simplificar o integrando.

Passo 2

Primeiro, calculemos a derivada de y=√(1+e^x). Como y=(1+ex){1/2}, aplicamos a regra da cadeia:
y'=12(1+e^x)^-1/2cdot e^x=e^x2raiz1+e^x

Passo 3

Em seguida, montamos 1+(y’)^2:
1+l(y'r)^2=1+e^2x4(1+e^x)=4(1+e^x)+e^2x4(1+e^x)=(2+e^x)^24(1+e^x)
Logo,
raiz1+l(y'r)^2=2+e^x2raiz1+e^x

Passo 4

Agora substituímos y e √(1+(y’)^2) no integrando da fórmula de área:
yraiz1+l(y'r)^2=raiz1+e^x;2+e^x2raiz1+e^x=2+e^x2
Portanto,
S=2piintegral0^2yraiz1+l(y'r)^2,dx=2piintegral0^22+e^x2,dx=piintegral0^2(2+e^x),dx

Passo 5

Basta agora integrar:
integral0^2(2+e^x),dx=l[2x+e^xr]0^2=(4+e^2)-(0+1)=3+e^2
Logo,
S=pi(3+e^2)

Resposta

S=pil(e^2+3r)

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