Resolva a integral definida: integral2^3 4(x+1)(x-1)^2 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral2^3 4(x+1)(x-1)^2,dx. Aqui o conteúdo principal é integração por frações parciais, pois o integrando é uma função racional em que o grau do denominador é maior que o numerador.

Passo 2

Para usar frações parciais, escrevemos:
4(x+1)(x-1)^2 = Ax+1 + Bx-1 + C(x-1)^2
Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x-1)^2 obtemos a identidade
$$
4 = A(x-1)^{2} + B(x+1)(x-1) + C(x+1).
$$

Passo 3

Expandindo e agrupando termos em potências de x:
A(x^2-2x+1)+B(x^2-1)+C(x+1) = (A+B)x^2+(-2A+C)x+(A-B+C) Comparando coeficientes com o lado 4 = 0,x^2+0,x+4 dá o sistema
A+B=0, -2A+C=0, A-B+C=4 Daqui vem B=-A, C=2A e substituindo na terceira equação 4A=4 leva a A=1, logo B=-1 e C=2. Assim o integrando fica
4(x+1)(x-1)^2 = 1x+1 - 1x-1 + 2(x-1)^2
Agora integramos termo a termo:
$$
\int \frac{1}{x+1}dx = \ln|x+1|,
$$ integral 1x+1dx = ln|x+1|,
$$\int \frac{2}{(x-1)^{2}}dx = 2\int (x-1)^{-2}dx = -\frac{2}{x-1}.
$$Logo uma antiderivada é
integral -1x-1dx = -ln|x-1|,

Passo 4

Agora aplicamos o teorema fundamental do cálculo:
integral2^3 = F(3)-F(2)
Calculando em x=3:
$$
F(3)=\ln4 - \ln2 -1 = \ln2 -1,
$$e em F(3)=ln4 - ln2 -1 = ln2 -1, :
x=2Subtraindo:
F(2)=ln3 - ln1 -2 = ln3 -2

Resposta

1 + lnl(tfrac23r)

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