O valor da integral
é:
Passo 1
A questão pede para calcular a integral
Estamos no tema de cálculo de integrais envolvendo produto de polinômio por exponencial. Para resolver, vamos usar uma mudança de variável (para simplificar o expoente) e depois aplicar integração por partes.
Passo 2
Vamos fazer a substituição
o que dá
e os limites mudam: quando x=0, t=-1; quando x=1, t=0. Além disso, x = t+1, então x(x-1) vira
A integral fica
Passo 3
Agora vamos separar em duas integrais:
Para cada uma, usamos integração por partes, onde escolhemos u e dv de forma a reduzir o grau do polinômio.
Passo 4
Primeiro, calculemos
Escolhendo
temos
Pela fórmula de partes
,
Passo 5
Agora, calculemos
Usamos partes com
então
Logo,
Mas já sabemos que
Então
Passo 6
Somando as duas primitivas:
Agrupando termos,
Logo uma antiderivada é
Passo 7
Agora aplicamos os limites de -1 a 0:
Calculando:
Portanto o valor da integral é