O valor da integral integral0^1 x(x-1) e^x-1 d x é:

Passo 1

A questão pede para calcular a integral
integral0^1 x(x-1)e^x-1,dx
Estamos no tema de cálculo de integrais envolvendo produto de polinômio por exponencial. Para resolver, vamos usar uma mudança de variável (para simplificar o expoente) e depois aplicar integração por partes.

Passo 2

Vamos fazer a substituição
t = x-1,
o que dá
dt = dx,
e os limites mudam: quando x=0, t=-1; quando x=1, t=0. Além disso, x = t+1, então x(x-1) vira
(t+1)cdot t = t^2 + t
A integral fica
integral-1^0 (t^2 + t)e^t,dt

Passo 3

Agora vamos separar em duas integrais:
integral-1^0 t^2 e^t,dt + integral-1^0 t e^t,dt
Para cada uma, usamos integração por partes, onde escolhemos u e dv de forma a reduzir o grau do polinômio.

Passo 4

Primeiro, calculemos
integral t e^t,dt
Escolhendo
u = t, dv = e^t,dt,
temos
tu = dt, v = e^t
Pela fórmula de partes integral u,dv = uv - integral v,du,
integral t e^t,dt = t e^t - integral e^t,dt = t e^t - e^t + C

Passo 5

Agora, calculemos
integral t^2 e^t,dt
Usamos partes com
u = t^2, dv = e^t,dt,
então
du = 2t,dt, v = e^t
Logo,
integral t^2 e^t,dt = t^2 e^t - integral 2t e^t,dt
Mas já sabemos que
integral t e^t,dt = t e^t - e^t
Então
integral t^2 e^t,dt = t^2 e^t - 2l(t e^t - e^tr) + C = e^tl(t^2 - 2t + 2r) + C

Passo 6

Somando as duas primitivas:
integral (t^2 + t)e^t,dt = e^tl(t^2 - 2t + 2r) + l(t e^t - e^tr) + C
Agrupando termos,
= e^tl(t^2 - 2t + 2 + t - 1r) + C = e^tl(t^2 - t + 1r) + C
Logo uma antiderivada é
F(t) = e^tl(t^2 - t + 1r)

Passo 7

Agora aplicamos os limites de -1 a 0:
integral-1^0 (t^2 + t)e^t,dt = F(0) - F(-1)
Calculando:
F(0) = e^0l(0^2 - 0 + 1r) = 1,
F(-1) = e^-1l((-1)^2 - (-1) + 1r) = e^-1(1 + 1 + 1) = 3e^-1
Portanto o valor da integral é
1 - 3e^-1

Resposta

1 - tfrac3e

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