O valor da integral integral0^1 2 x^3+1x^2+1 d x é:

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 a 1 de 2x^3+1x^2+1,dx. O conteúdo envolve técnicas de integração, em especial divisão de polinômios e antiderivadas padrão (função racional, logaritmo e arco-tangente).

Passo 2

Primeiro a gente faz a divisão de polinômios para simplificar o integrando. Dividindo 2x^3+1 por x^2+1 dá:
2x^3+1x^2+1 = 2x + (2x^3+1) - 2x(x^2+1)x^2+1 = 2x + -2x + 1x^2+1 = 2x - 2xx^2+1 + 1x^2+1

Passo 3

Agora achamos a antiderivada de cada termo. Usando regras básicas:
integral 2x,dx = x^2, integral -2xx^2+1,dx = -ln(x^2+1), integral 1x^2+1,dx = arctan(x)
Logo uma primitiva comum é
F(x) = x^2 - ln(x^2+1) + arctan(x)

Passo 4

Por fim aplicamos os limites de 0 a 1:
F(1)-F(0) = l(1^2 - ln(1^2+1) + arctan(1)r) - l(0^2 - ln(0^2+1) + arctan(0)r) = 1 - ln 2 + pi4

Resposta

1 - \ln 2 + \frac{\pi}{4}

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