O valor da integral integral0^1 4(x+2)(x^2+1)(x+1) d x é:

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de 0 a 1 de 4(x+2)/l((x^2+1)(x+1)r),dx. O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais para depois integrar termos do tipo integral 1/(x+1),dx, integral x/(x^2+1),dx e integral 1/(x^2+1),dx.

Passo 2

Para decompor 4(x+2)(x+1)(x^2+1), escrevemos
4(x+2)(x+1)(x^2+1)=Ax+1+Bx+Cx^2+1
Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x^2+1) e igualando coeficientes em x^2, x, e termo constante, obtemos o sistema
A+B=0, -A+C=4, A+C=8
Resolvendo, achamos A=2, B=-2 e C=6.

Passo 3

Assim a integral vira
integral0^14(x+2)(x^2+1)(x+1),dx =integral0^12x+1,dx +integral0^1-2xx^2+1,dx +integral0^16x^2+1,dx

Passo 4

Agora integramos cada parte e avaliamos em 0 e 1:
  • integral2x+1,dx=2ln(x+1) avaliado de 0 a 1 dá 2ln2
  • integral-2xx^2+1,dx=-ln(x^2+1) avaliado de 0 a 1 dá -ln2
  • integral6x^2+1,dx=6arctan x avaliado de 0 a 1 dá 6cdotpi4=tfrac3pi2

Passo 5

Somando os resultados parciais obtemos
2ln2 -ln2 + 3pi2=ln2+3pi2

Resposta

ln2 + tfrac3pi2

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