Resolva a integral dupla abaixo, onde D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y \geq 0,1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 9\right\}.
\int_{D} \int 35 x^{4} \cdot y d y d x
  • Resposta : 4.372

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\displaystyle \iint_{D}35x^{4}y\,dA
no domínio
\displaystyle D=\{(x,y)\mid y\ge0,\;1\le x^{2}+y^{2}\le9\}.
Como D é um semianel em coordenadas polares, vamos usar a mudança
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dA=r\,dr\,d\theta.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x^{4}y = (r\cos\theta)^{4}(r\sin\theta) = r^{5}\cos^{4}\theta\,\sin\theta
e o jacobiano traz mais um fator r, de modo que o integrando vira
35x^{4}y\,dA = 35\,r^{5}\cos^{4}\theta\sin\theta\cdot r\,dr\,d\theta =35\,r^{6}\cos^{4}\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.
O domínio em (r,\theta) é
1\le r\le3,\quad 0\le\theta\le\pi.

Passo 3

A integral separa-se em produto radial e angular:
\iint_{D}35x^{4}y\,dA =\int_{0}^{\pi}\!\!\int_{1}^{3}35\,r^{6}\cos^{4}\theta\sin\theta\,dr\,d\theta =35\Bigl(\int_{1}^{3}r^{6}dr\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{\pi}\cos^{4}\theta\sin\theta\,d\theta\Bigr).

Passo 4

Calculemos a parte radial:
\int_{1}^{3}r^{6}dr =\frac{r^{7}}{7}\Big|_{1}^{3} =\frac{3^{7}-1}{7} =\frac{2186}{7}.

Passo 5

Agora a parte angular, usando u=\cos\theta, du=-\sin\theta\,d\theta:
\int_{0}^{\pi}\cos^{4}\theta\sin\theta\,d\theta =-\int_{u=1}^{u=-1}u^{4}du =-\Bigl[\frac{u^{5}}{5}\Bigr]_{1}^{-1} =-\Bigl(\frac{-1}{5}-\frac{1}{5}\Bigr) =\frac{2}{5}.

Passo 6

Multiplicando tudo:
35\cdot\frac{2186}{7}\cdot\frac{2}{5} =5\cdot2186\cdot\frac{2}{5} =2\cdot2186 =4372.

Resposta

4372

Exercícios relacionados