resolva a integral por frações parciais
integral x-1 / x^2-x-2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida integral x-1x^2 - x - 2,dx. O assunto é decomposição em frações parciais de funções racionais, e para isso a gente vai precisar fatorar o denominador e escrever a fração como soma de parcelas simples.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)

Passo 3

Agora montamos a decomposição em frações parciais. Suponha que
x-1(x-2)(x+1) = Ax-2 + Bx+1

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (x-2)(x+1) e igualando polinômios, temos
x - 1 = A(x+1) + B(x-2)

Passo 5

Agrupando termos em x e constantes, obtemos o sistema
A + B = 1, A - 2B = -1

Passo 6

Resolvendo o sistema, encontramos
B = 23, A = 1 - B = 13

Passo 7

Substituindo de volta na integral, fica
integral x-1x^2 - x - 2,dx = integral l(1/3x-2 + 2/3x+1r),dx

Passo 8

Agora é só integrar cada termo usando integral 1x-a,dx = ln|x-a| + C:
integral 1/3x-2,dx = 13ln|x-2|, integral 2/3x+1,dx = 23ln|x+1|

Resposta

13ln|x-2| + 23ln|x+1| + C

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