Test for exactness. If exact, solve. If not, use an integrating factor as given or obtained by inspection or by the theorems in the text. Also, if an initial condition is given, find the corresponding particular solution.
(2 x y d x+d y) e^x^2=0, y(0)=2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial (2x y,dx + dy)e^x^2 = 0 com condição inicial y(0)=2. O conteúdo é equação exata: precisamos checar se a forma M(x,y),dx + N(x,y),dy=0 é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial.

Passo 2

Identificamos M(x,y) = 2xy e^x^2 e N(x,y) = e^x^2. Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 2x e^x^2
partial Npartial x = 2x e^x^2
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos F(x,y) tal que Fx = M e Fy = N. Integrando Fx = 2xy e^x^2 em relação a x:
F(x,y) = y integral 2x e^x^2 ,dx = y e^x^2 + h(y)

Passo 4

Derivando em relação a y e igualando a N:
Fy = e^x^2 + h'(y) = e^x^2 implies h'(y)=0 implies h(y)=C1

Passo 5

A solução geral implícita é então
F(x,y)= y e^x^2 = C

Passo 6

Usando a condição inicial y(0)=2 obtemos
2 e^0=C implies C=2

Passo 7

Logo, a solução particular satisfaz
y e^x^2=2 Longrightarrow y=2e^-x^2

Resposta

y=2e^-x^2

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