Test for exactness. If exact, solve. If not, use an integrating factor as given or obtained by inspection or by the theorems in the text. Also, if an initial condition is given, find the corresponding particular solution.
2 cosh x cos y d x=sinh x sin y d y

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial 2cosh xcos y,dx=sinh xsin y,dy. O objetivo é testar se ela é exata e, caso não seja, encontrar um fator integrante apropriado para torná-la exata e então obter a solução implícita.

Passo 2

Reescrevemos na forma M(x,y),dx+N(x,y),dy=0, com
M=2cosh xcos y, N=-sinh xsin y
Calculamos as derivadas parciais:
My=partialpartial y(2cosh xcos y)=-2cosh xsin y,
$$N_x=\frac{\partial}{\partial x}(-\sinh x\sin y)=-\cosh x\sin y.
$$
Como Nx=partialpartial x(-sinh xsin y)=-cosh xsin y , a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu(x) dependente só de x. Usamos que
My-NxN= rac-2cosh xsin y-(-cosh xsin y)-sinh xsin y= raccosh xsinh x=coth x,
que é função apenas de x. Logo
$$\mu(x)=\exp\bigl(\int\coth x,dx\bigr)=\exp(\ln|\sinh x|)=\sinh x.
$$

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original por sinh x, obtendo
$$M^*=2\sinh x\cosh x\cos y,\quad N*=-\sinh2 x\sin y.
M^*=2sinh xcosh xcos y, N^*=-sinh^2 xsin y \frac{\partial M^*}{\partial y}=-2\sinh x\cosh x\sin y,\quad
\frac{\partial N^*}{\partial x}=-2\sinh x\cosh x\sin y,
$$
logo é exata.

Passo 5

Buscamos a função potencial phi(x,y) tal que
$$\phi_x=M^*=2\sinh x\cosh x\cos y=\sinh2x\cos y.
phix=M^*=2sinh xcosh xcos y=sinh2xcos y çã\phi(x,y)=\int\sinh2x\cos y,dx=\cos y\sinh^2 x +h(y).
x\phi_y=-\sinh^2 x\sin y +h’(y)
$$
e igualamos a phi(x,y)=integralsinh2xcos y,dx=cos ysinh^2 x +h(y) , obtendo y e portanto phiy=-sinh^2 xsin y +h'(y)

Passo 6

Assim a solução implícita geral fica
sinh^2 xcos y=C,
onde C é constante de integração.

Resposta

sinh^2 xcos y=C

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