Test for exactness. If exact, solve. If not, use an integrating factor as given or obtained by inspection or by the theorems in the text. Also, if an initial condition is given, find the corresponding particular solution.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
. O objetivo é testar se ela é exata e, caso não seja, encontrar um fator integrante apropriado para torná-la exata e então obter a solução implícita.
Passo 2
Reescrevemos na forma
, com
Calculamos as derivadas parciais:
$$N_x=\frac{\partial}{\partial x}(-\sinh x\sin y)=-\cosh x\sin y.
$$
Como , a equação não é exata.
Como
Passo 3
Procuramos um fator integrante
dependente só de
. Usamos que
que é função apenas de
. Logo
$$\mu(x)=\exp\bigl(\int\coth x,dx\bigr)=\exp(\ln|\sinh x|)=\sinh x.
$$
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original por
, obtendo
$$M^*=2\sinh x\cosh x\cos y,\quad N*=-\sinh2 x\sin y.
\frac{\partial N^*}{\partial x}=-2\sinh x\cosh x\sin y,
$$
logo é exata.
logo é exata.
Passo 5
Buscamos a função potencial
tal que
$$\phi_x=M^*=2\sinh x\cosh x\cos y=\sinh2x\cos y.
$$
e igualamos a , obtendo
e portanto
e igualamos a
Passo 6
Assim a solução implícita geral fica
onde