Exercício 2. Encontre o tipo de indeterminação e calcule os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{\ln (x)}{x-1}\right)

Passo 1

O enunciado pede \displaystyle \lim_{x\to1}\frac{\ln(x)}{x-1}. O conteúdo é cálculo de limites com indeterminação do tipo 0/0 e vamos usar a Regra de L’Hôpital para resolver.

Passo 2

Verificamos a forma ao substituir x=1: \ln(1)=0 e 1-1=0, logo a expressão é uma indeterminação do tipo
\frac{0}{0}.

Passo 3

Pela Regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac1x, \qquad \frac{d}{dx}(x-1)=1.
Então
\lim_{x\to1}\frac{\ln(x)}{x-1} =\lim_{x\to1}\frac{\tfrac1x}{1} =\lim_{x\to1}\frac1x =1.

Resposta

O limite vale 1.

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