resolva a integral por partes
integral e^wed>= x sen(e^wed>= x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral e^x cdot x cdot sin(e^x) dx usando o método de integração por partes. A matéria que estamos lidando aqui é cálculo integral, especificamente a técnica de integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar duas partes na nossa integral: uma que vamos derivar e outra que vamos integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher u e dv de forma estratégica para simplificar a integral. Vamos optar por:
u = x Rightarrow du = dx
dv = e^x sin(e^x) dx Rightarrow v = integral e^x sin(e^x) dx

Passo 3

Agora, precisamos calcular v = integral e^x sin(e^x) dx. Para isso, faremos uma substituição:
Vamos definir t = e^x, então dt = e^x dx. Reescrevendo a integral em termos de t:
v = integral sin(t) , dt = -cos(t) + C = -cos(e^x) + C
Ignorando a constante de integração por enquanto, temos:
v = -cos(e^x)

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula de integração por partes:
integral e^x cdot x cdot sin(e^x) dx = u cdot v - integral v cdot du
Substituindo os valores que encontramos:
= x cdot (-cos(e^x)) - integral (-cos(e^x)) dx
= -x cos(e^x) + integral cos(e^x) dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral integral cos(e^x) dx. Novamente, vamos usar uma substituição:
Definindo t = e^x, então dt = e^x dx, o que implica que dx = dte^x = dtt. Substituindo na integral:
integral cos(t) cdot 1t dt
Essa integral é conhecida e é a função especial denominada função de Cosine Integral, denotada por Ci(t). Portanto:
integral cos(e^x) dx = Ci(e^x) + C

Passo 6

Voltando à nossa expressão anterior:
integral e^x cdot x cdot sin(e^x) dx = -x cos(e^x) + Ci(e^x) + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral integral e^x cdot x cdot sin(e^x) dx é igual a:
-x cos(e^x) + Ci(e^x) + C

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