Resolva a integral por substituição trigonométrica
Passo 1
A gente quer calcular a integral
O conteúdo aqui é substituição trigonométrica para expressões do tipo
. Vamos usar uma mudança que transforme essa raiz em algo mais simples.
Passo 2
Como aparece
, a gente escolhe
pois aí
vira
. Calculando também o diferencial:
Passo 3
Substituindo na integral e simplificando, a gente obtém:
Passo 4
Para integrar
, usamos a identidade
Assim:
Passo 5
Agora voltamos para
. Como
temos
. Além disso:
Substituindo em
a gente chega em
Resposta
[
\frac{1}{54}\arccos\bigl(\tfrac{3}{x}\bigr)
\frac{1}{54}\arccos\bigl(\tfrac{3}{x}\bigr)
- \frac{\sqrt{x2-9}}{18,x2} + C.
]