Resolva a integral por substituição trigonométrica
integral d x /(x^3 V(x^2-9))

Passo 1

A gente quer calcular a integral
integral dxx^3raizx^2-9
O conteúdo aqui é substituição trigonométrica para expressões do tipo raizx^2-a^2. Vamos usar uma mudança que transforme essa raiz em algo mais simples.

Passo 2

Como aparece raizx^2-9, a gente escolhe
x = 3sectheta,
pois aí raizx^2-9 vira 3tantheta. Calculando também o diferencial:
dx = 3secthetatantheta,dtheta

Passo 3

Substituindo na integral e simplificando, a gente obtém:
integral dxx^3raizx^2-9 = integral 3secthetatantheta,dtheta(3sectheta)^3cdot3tantheta = 127integral cos^2theta,dtheta

Passo 4

Para integrar cos^2theta, usamos a identidade
cos^2theta = 1+cos2theta2
Assim:
127integral cos^2theta,dtheta = 127integral 1+cos2theta2,dtheta = 154integral (1+cos2theta),dtheta = 154l(theta + sin2theta2r) + C = theta54 + sin2theta108 + C

Passo 5

Agora voltamos para x. Como
sectheta = x3,
temos theta = arccos(tfrac3x). Além disso:
sin2theta = 2sinthetacostheta = 2cdotraizx^2-9xcdot3x = 6raizx^2-9x^2
Substituindo em
theta54 + sin2theta108 + C,
a gente chega em
154arccosl(tfrac3xr) + raizx^2-918,x^2 + C

Resposta

[
\frac{1}{54}\arccos\bigl(\tfrac{3}{x}\bigr)
  • \frac{\sqrt{x2-9}}{18,x2} + C.
    ]

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