Resolva a integral a seguir utilizando a técnica da integração por partes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas ou implicadas:
- A função a ser integrada é
. - Podemos notar que há um fator constante
multiplicando a expressão. - A função
exige para estar bem definida (vou assumir durante o cálculo). - A pergunta é: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, calcular a integral indefinida.
Passo 2
A técnica solicitada é a integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Aqui:
-
é uma função que vamos derivar para obter . -
é uma parte que vamos integrar para obter .
Explicando por que essa fórmula funciona (rápido): é consequência da regra do produto para derivadas aplicada ae depois integrando ambos os lados. Não precisa decorar mecanicamente: escolha para ficar mais simples ao derivar, e escolha que seja fácil de integrar.
Passo 3
Escolha das partes para aplicar a fórmula (justificativa didática):
- Uma boa escolha é tomar
como a parte que fica mais simples ao derivar. tem derivada simples (vai reduzir), então escolho
- O restante será
. Como o integrando é , escolho
Essa escolha tende a simplificar porque derivar
elimina o log, e integrar
é trivial.
Passo 4
Calcular
(derivada de
) usando a regra da cadeia:
Derivando:
Portanto
Aqui expliquei passo a passo: a derivada de
é
e dentro temos
, por isso multiplica pela derivada de
, que é
.
Passo 5
Calcular
integrando
:
Integramos:
Então temos
.
Passo 6
Aplicar a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Simplificando dentro da integral:
Portanto
Passo 7
Calcular a integral restante e simplificar:
Logo
onde
é a constante de integração. Se quiser factorizar para uma forma alternativa: