Resolva a integral a seguir utilizando a técnica da integração por partes:
\int 5 x \cdot \ln (4 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int 5 x \cdot \ln(4 x)\,d x.
Informações dadas ou implicadas:
  • A função a ser integrada é 5x\ln(4x).
  • Podemos notar que há um fator constante 5 multiplicando a expressão.
  • A função \ln(4x) exige x>0 para estar bem definida (vou assumir x>0 durante o cálculo).
  • A pergunta é: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, calcular a integral indefinida.

Passo 2

A técnica solicitada é a integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui:
  • u é uma função que vamos derivar para obter du.
  • dv é uma parte que vamos integrar para obter v.
    Explicando por que essa fórmula funciona (rápido): é consequência da regra do produto para derivadas aplicada a u v e depois integrando ambos os lados. Não precisa decorar mecanicamente: escolha u para ficar mais simples ao derivar, e escolha dv que seja fácil de integrar.

Passo 3

Escolha das partes para aplicar a fórmula (justificativa didática):
  • Uma boa escolha é tomar u como a parte que fica mais simples ao derivar. \ln(4x) tem derivada simples (vai reduzir), então escolho
u = \ln(4x).
  • O restante será dv. Como o integrando é 5x\ln(4x), escolho
dv = 5x\,dx.
Essa escolha tende a simplificar porque derivar \ln(4x) elimina o log, e integrar 5x é trivial.

Passo 4

Calcular du (derivada de u) usando a regra da cadeia:
u = \ln(4x).
Derivando:
\frac{d}{dx}\ln(4x)=\frac{1}{4x}\cdot 4=\frac{1}{x}.
Portanto
du = \frac{1}{x}\,dx.
Aqui expliquei passo a passo: a derivada de \ln(t) é 1/t e dentro temos t=4x, por isso multiplica pela derivada de 4x, que é 4.

Passo 5

Calcular v integrando dv:
dv = 5x\,dx.
Integramos:
v = \int 5x\,dx = 5\cdot\frac{x^2}{2} = \frac{5}{2}x^2.
Então temos v = \dfrac{5}{2}x^2.

Passo 6

Aplicar a fórmula de integração por partes:
\int 5x\ln(4x)\,dx = \int u\,dv = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int 5x\ln(4x)\,dx = \left(\ln(4x)\right)\left(\frac{5}{2}x^2\right) - \int \left(\frac{5}{2}x^2\right)\left(\frac{1}{x}\right)\,dx.
Simplificando dentro da integral:
\left(\frac{5}{2}x^2\right)\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{5}{2}x.
Portanto
\int 5x\ln(4x)\,dx = \frac{5}{2}x^2\ln(4x) - \int \frac{5}{2}x\,dx.

Passo 7

Calcular a integral restante e simplificar:
\int \frac{5}{2}x\,dx = \frac{5}{2}\int x\,dx = \frac{5}{2}\cdot\frac{x^2}{2} = \frac{5}{4}x^2.
Logo
\int 5x\ln(4x)\,dx = \frac{5}{2}x^2\ln(4x) - \frac{5}{4}x^2 + C,
onde C é a constante de integração. Se quiser factorizar para uma forma alternativa:
\frac{5}{2}x^2\ln(4x) - \frac{5}{4}x^2 = \frac{5}{4}x^2\bigl(2\ln(4x)-1\bigr).

Resposta

\frac{5}{2}x^2\ln(4x) - \frac{5}{4}x^2 + C

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