A taxa de escoamento de água de um reservatório é dada pela função \boldsymbol{f}(\boldsymbol{t})=\mathbf{5 e}^{-\mathbf{0 , 2 t}} (em metros cúbicos por hora), onde t representa o tempo em horas a partir do instante inicial.
Determine o volume total de água que escoa do reservatório no intervalo de tempo de \mathbf{t}=\mathbf{0} até \mathbf{t}=\mathbf{1 0} horas.

Passo 1

O enunciado dá a taxa de escoamento de água do reservatório e pede o volume total que escoa entre t=0 e t=10 horas. Informações dadas e o que é pedido:
  • Função taxa de escoamento: f(t)=5e^{-0,2t} (em metros cúbicos por hora).
  • Intervalo de tempo: de t=0 até t=10 horas.
  • Pergunta: determinar o volume total de água que escoa nesse intervalo de tempo (unidade: metros cúbicos).

Passo 2

Entendimento matemático do que precisamos calcular: o volume total que escoa é a integral da taxa em função do tempo sobre o intervalo dado. Ou seja, devemos calcular a integral definida
\int_{0}^{10} f(t)\,dt = \int_{0}^{10} 5e^{-0,2t}\,dt.
Aqui a ideia é somar infinitesimais de volume f(t)\,dt ao longo do tempo — por isso usamos integral.

Passo 3

Vamos calcular a antiderivada (primitiva) de 5e^{-0,2t}. Primeiro lembrando uma fórmula básica: se temos \int e^{kt}\,dt, a antiderivada é \dfrac{1}{k}e^{kt} (porque ao derivar \dfrac{1}{k}e^{kt} volta-se a e^{kt} pelo efeito da regra da cadeia). No nosso caso k=-0,2. Então
\int e^{-0,2t}\,dt = \frac{1}{-0,2}e^{-0,2t}.
Multiplicando pelo fator 5,
\int 5e^{-0,2t}\,dt = 5\cdot\frac{1}{-0,2}e^{-0,2t} + C.

Passo 4

Calculemos o fator numérico \displaystyle 5\cdot\frac{1}{-0,2}. Como \frac{1}{0,2}=5, temos \frac{1}{-0,2}=-5. Logo
5\cdot\frac{1}{-0,2} = 5\cdot(-5) = -25.
Portanto uma antiderivada é -25e^{-0,2t}. Assim a integral definida é
\int_{0}^{10} 5e^{-0,2t}\,dt = \big[-25e^{-0,2t}\big]_{0}^{10}.

Passo 5

Avaliar a primitiva nos extremos do intervalo: primeiro calcule o expoente em cada ponto.
  • Para t=10: -0,2\cdot 10 = -2, então e^{-0,2\cdot 10}=e^{-2}.
  • Para t=0: -0,2\cdot 0 = 0, então e^{0}=1.
Substituindo:
\big[-25e^{-0,2t}\big]_{0}^{10} = -25e^{-2} - \big(-25\cdot 1\big) = -25e^{-2} +25.
Colocando em forma mais limpa:
\int_{0}^{10} 5e^{-0,2t}\,dt = 25\big(1 - e^{-2}\big).

Passo 6

Interpretação e aproximação numérica: a expressão exata do volume é \displaystyle 25\big(1-e^{-2}\big) metros cúbicos. Se quisermos um valor numérico aproximado, usamos e^{2}\approx 7,389056, então e^{-2}\approx 0,135335. Assim
25\big(1-e^{-2}\big)\approx 25\big(1-0,135335\big)=25\cdot 0,864665\approx 21,6166.
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais, o volume é aproximadamente 21,62 metros cúbicos.

Resposta

25\big(1-e^{-2}\big)\\ \text{m}^3 \approx 21,62\\ \text{m}^3

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