A taxa de escoamento de água de um reservatório é dada pela função
(em metros cúbicos por hora), onde t representa o tempo em horas a partir do instante inicial.
Determine o volume total de água que escoa do reservatório no intervalo de tempo de
até
horas.
Determine o volume total de água que escoa do reservatório no intervalo de tempo de
Passo 1
O enunciado dá a taxa de escoamento de água do reservatório e pede o volume total que escoa entre
e
horas. Informações dadas e o que é pedido:
- Função taxa de escoamento:
(em metros cúbicos por hora). - Intervalo de tempo: de
até horas. - Pergunta: determinar o volume total de água que escoa nesse intervalo de tempo (unidade: metros cúbicos).
Passo 2
Entendimento matemático do que precisamos calcular: o volume total que escoa é a integral da taxa em função do tempo sobre o intervalo dado. Ou seja, devemos calcular a integral definida
Aqui a ideia é somar infinitesimais de volume
ao longo do tempo — por isso usamos integral.
Passo 3
Vamos calcular a antiderivada (primitiva) de
. Primeiro lembrando uma fórmula básica: se temos
, a antiderivada é
(porque ao derivar
volta-se a
pelo efeito da regra da cadeia). No nosso caso
. Então
Multiplicando pelo fator
,
Passo 4
Calculemos o fator numérico
. Como
, temos
. Logo
Portanto uma antiderivada é
. Assim a integral definida é
Passo 5
Avaliar a primitiva nos extremos do intervalo: primeiro calcule o expoente em cada ponto.
- Para
: , então . - Para
: , então .
Substituindo:
Colocando em forma mais limpa:
Passo 6
Interpretação e aproximação numérica: a expressão exata do volume é
metros cúbicos. Se quisermos um valor numérico aproximado, usamos
, então
. Assim
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais, o volume é aproximadamente
metros cúbicos.