Resolver a integral
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função integrada é
. - É uma integral indefinida (ou seja, procurar uma primitiva).
- Como aparece
, estamos implicitamente trabalhando no intervalo onde a raiz está bem definida real, ou seja, tipicamente . Não tentaremos valores onde nem onde a expressão fura (como ).
Passo 2
Vamos simplificar o denominador
. Regras que usamos:
-
. - Para potências,
.
Aplicando:
Passo 3
Substituímos o denominador simplificado na integranda:
Agora dividimos termo a termo:
Usamos a regra de potências para divisão:
. Então
e
Portanto a integranda fica
Passo 4
Reescrevemos a integral como soma de integrais mais simples:
Passo 5
Lembrando a regra básica de integração para potências (regra do aluno que salva a vida na prova):
- Se
, então
Aqui
é qualquer número real diferente de
. Essa fórmula vem da diferenciação reversa da potência.
Passo 6
Aplicamos a fórmula ao primeiro termo
. Aqui
, então
Multiplicando por
(o fator que estava fora):
Passo 7
Agora o segundo termo
. Aqui
, então
Multiplicando pelo fator
:
Passo 8
Somando os resultados dos dois termos obtemos a primitiva:
Se quiser ver em forma com radicais:
e
. Uma forma alternativa factorizada é
mas a forma anterior é mais direta.
Passo 9
Resumo rápido do raciocínio: simplifiquei a raiz para potências, transformei a integranda em soma de potências, usei a regra de integração de potências e juntei resultados. Dá para fazer isso rápido na prova se você reconhecer a transformação da raiz para potência.