Resolver a integral
\int \frac{8 s^{3}+3}{\sqrt{4 s^{5}}} d s

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{8 s^{3}+3}{\sqrt{4 s^{5}}}\,d s.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função integrada é \dfrac{8 s^{3}+3}{\sqrt{4 s^{5}}}.
  • É uma integral indefinida (ou seja, procurar uma primitiva).
  • Como aparece \sqrt{4 s^{5}}, estamos implicitamente trabalhando no intervalo onde a raiz está bem definida real, ou seja, tipicamente s>0. Não tentaremos valores onde s\le0 nem onde a expressão fura (como s=0).

Passo 2

Vamos simplificar o denominador \sqrt{4 s^{5}}. Regras que usamos:
  • \sqrt{ab}=\sqrt{a}\,\sqrt{b}.
  • Para potências, \sqrt{s^{5}}=s^{5/2}.
Aplicando:
\sqrt{4 s^{5}}=\sqrt{4}\,\sqrt{s^{5}}=2\,s^{5/2}.

Passo 3

Substituímos o denominador simplificado na integranda:
\frac{8 s^{3}+3}{\sqrt{4 s^{5}}}=\frac{8 s^{3}+3}{2 s^{5/2}}.
Agora dividimos termo a termo:
\frac{8 s^{3}}{2 s^{5/2}}+\frac{3}{2 s^{5/2}}.
Usamos a regra de potências para divisão: s^{a}/s^{b}=s^{a-b}. Então
\frac{8 s^{3}}{2 s^{5/2}}=4 s^{3-5/2}=4 s^{1/2},
e
\frac{3}{2 s^{5/2}}=\frac{3}{2}s^{-5/2}.
Portanto a integranda fica
4 s^{1/2}+\frac{3}{2}s^{-5/2}.

Passo 4

Reescrevemos a integral como soma de integrais mais simples:
\int \frac{8 s^{3}+3}{\sqrt{4 s^{5}}}\,d s=\int\left(4 s^{1/2}+\frac{3}{2}s^{-5/2}\right)\,d s =4\int s^{1/2}\,d s+\frac{3}{2}\int s^{-5/2}\,d s.

Passo 5

Lembrando a regra básica de integração para potências (regra do aluno que salva a vida na prova):
  • Se n\neq -1, então
\int s^{n}\,d s=\frac{s^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n é qualquer número real diferente de -1. Essa fórmula vem da diferenciação reversa da potência.

Passo 6

Aplicamos a fórmula ao primeiro termo s^{1/2}. Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
\int s^{1/2}\,d s=\frac{s^{1/2+1}}{1/2+1}=\frac{s^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}s^{3/2}.
Multiplicando por 4 (o fator que estava fora):
4\int s^{1/2}\,d s=4\cdot\frac{2}{3}s^{3/2}=\frac{8}{3}s^{3/2}.

Passo 7

Agora o segundo termo s^{-5/2}. Aqui n=-\tfrac{5}{2}, então
\int s^{-5/2}\,d s=\frac{s^{-5/2+1}}{-5/2+1}=\frac{s^{-3/2}}{-3/2}=-\frac{2}{3}s^{-3/2}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{3}{2}:
\frac{3}{2}\int s^{-5/2}\,d s=\frac{3}{2}\cdot\left(-\frac{2}{3}s^{-3/2}\right)=-s^{-3/2}.

Passo 8

Somando os resultados dos dois termos obtemos a primitiva:
\frac{8}{3}s^{3/2}-s^{-3/2}+C.
Se quiser ver em forma com radicais: s^{3/2}=s\sqrt{s} e s^{-3/2}=\dfrac{1}{s^{3/2}}=\dfrac{1}{s\sqrt{s}}. Uma forma alternativa factorizada é
\frac{1}{3}s^{-3/2}(8 s^{3}-3)+C,
mas a forma anterior é mais direta.

Passo 9

Resumo rápido do raciocínio: simplifiquei a raiz para potências, transformei a integranda em soma de potências, usei a regra de integração de potências e juntei resultados. Dá para fazer isso rápido na prova se você reconhecer a transformação da raiz para potência.

Resposta

\displaystyle \frac{8}{3}s^{3/2}-s^{-3/2}+C

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