Utilize a regra da cadeia para calcular as integrais a seguir:
integral e^2 x(sen x)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral integral e^2x,sin^2 x,dx, que envolve exponencial composta e função trigonométrica. Vamos usar identidade trig e depois regra da cadeia (ou fórmula conhecida) para integrar produtos de exponencial com cosseno.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a identidade trigonométrica para reduzir o quadrado de seno:
sin^2 x = 1 - cos2x2,
então a integral vira
integral e^2xsin^2 x,dx = integral e^2xcdot 1 - cos2x2 ,dx = 12integral e^2x ,dx - 12integral e^2xcos2x ,dx

Passo 3

A primeira integral é direta usando substituição (regra da cadeia). Seja u=2x, então du=2,dx e
integral e^2x ,dx = 12integral e^u ,du = e^u2 = e^2x2

Passo 4

Para a segunda integral, usamos a fórmula padrão
integral e^axcos(bx),dx = e^axa^2+b^2l(acos(bx) + bsin(bx)r)
Aqui, a=2 e b=2, então
integral e^2xcos2x,dx = e^2x2^2+2^2l(2cos2x + 2sin2xr) = e^2x8(2cos2x + 2sin2x) = e^2x4(cos2x + sin2x)

Passo 5

Agora voltamos à separação original:
integral e^2xsin^2 x,dx = 12cdot e^2x2 - 12cdot e^2x4(cos2x + sin2x) + C
Bastou combinar e simplificar os coeficientes:
integral e^2xsin^2 x,dx = e^2x4 - e^2x8(cos2x + sin2x) + C = e^2x8l(2 - cos2x - sin2xr) + C

Resposta

integral e^2xsin^2 x,dx = e^2x8l(2 - cos2x - sin2xr) + C

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