Como você mostra que f(x) é igual à soma de sua série de Taylor?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta é: “Como você mostra que $ f(x) $ é igual à soma de sua série de Taylor?” Isso está relacionado ao conteúdo de séries de Taylor que estudamos em cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série de Taylor e como ela se relaciona com a função $ f(x) $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função $ f(x) $ em torno de um ponto $ a $ é uma soma infinita de termos que são calculados a partir das derivadas de $ f $ naquele ponto. A fórmula geral da série de Taylor é:
f(x)

Passo 3

Agora, para mostrar que $ f(x) $ é igual à soma de sua série de Taylor, precisamos usar o Teorema de Taylor. Esse teorema nos diz que se $ f(x) $ for suficientemente suave (ou seja, tem derivadas de todas as ordens) e se a série de Taylor converge para $ f(x) $, então podemos afirmar que:
f(x)

Passo 4

Mas como garantimos que a série realmente converge para $ f(x) $? É aí que entra o termo de resto no Teorema de Taylor. O restante $ R_n(x) $ nos ajuda a medir a diferença entre a função e a soma dos $ n $ primeiros termos da série. Se conseguirmos mostrar que $ R_n(x) $ tende a zero quando $ n $ tende ao infinito, então a série de Taylor converge para $ f(x) $.

Passo 5

Vamos resumir o que fizemos:
  1. Escrevemos a série de Taylor da função $ f(x) $.
  2. Aplicamos o Teorema de Taylor para relacionar a função com sua série.
  3. Usamos o termo de resto para verificar a convergência da série para a função.

Resposta

Portanto, para mostrar que $ f(x) $ é igual à soma de sua série de Taylor, demonstramos que a série de Taylor converge para $ f(x) $ usando o Teorema de Taylor e verificando que o termo de resto $ R_n(x) $ tende a zero quando $ n $ vai ao infinito. Assim, concluímos que:
f(x)

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