Resolva os itens abaixo:
Calcule a área da região entre os gráficos de y=|x| e y=x^2, com -3 <= x <= 3

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Precisamos calcular a área da região que fica entre os gráficos das funções $ y = |x| $ e $ y = x^{2} $ no intervalo de $ -3 \leq x \leq 3 $. Para resolver isso, vamos utilizar conhecimentos de cálculo, especificamente a integração, que nos ajuda a encontrar áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde essas duas funções se encontram, ou seja, encontrar os pontos de interseção. Isso nos ajuda a entender em quais intervalos uma função está acima da outra.
Resolvemos $ |x| = x^{2} $:
  • Para $ x \geq 0 $:
    |x| = x^2
  • Para $ x \leq 0 $:
    x >= 0
Então, os pontos de interseção são $ x = -1 $, $ x = 0 $ e $ x = 1 $.

Passo 3

Agora, vamos analisar qual função está acima da outra em cada intervalo determinado pelos pontos de interseção:
  1. Intervalo $ -3 \leq x \leq -1 $:
    • $ y = |x| $ está acima de $ y = x^{2} $.
  2. Intervalo $ -1 \leq x \leq 0 $:
    • $ y = x^{2} $ está acima de $ y = |x| $.
  3. Intervalo $ 0 \leq x \leq 1 $:
    • $ y = |x| $ está acima de $ y = x^{2} $.
  4. Intervalo $ 1 \leq x \leq 3 $:
    • $ y = x^{2} $ está acima de $ y = |x| $.

Passo 4

Para calcular a área entre as curvas, vamos integrar a diferença entre a função de cima e a função de baixo em cada intervalo. Então, temos quatro integrais a calcular:
Área Total = integral-3^-1 (|x| - x^2) , dx + integral-1^0 (x^2 - |x|) , dx + integral0^1 (|x| - x^2) , dx + integral1^3 (x^2 - |x|) , dx Á

Passo 5

Vamos calcular cada integral separadamente:
  1. Primeira Integral ($ -3 \leq x \leq -1 $):
    -3 <= x <= -1
    (Porque $ |x| = -x $ para $ x \leq 0 $)
  2. Segunda Integral ($ -1 \leq x \leq 0 $):
    integral-3^-1 (|x| - x^2) , dx = integral-3^-1 (-x - x^2) , dx
    (Porque $ |x| = -x $ para $ x \leq 0 $)
  3. Terceira Integral ($ 0 \leq x \leq 1 $):
    |x| = -x
    (Porque $ |x| = x $ para $ x \geq 0 $)
  4. Quarta Integral ($ 1 \leq x \leq 3 $):
    x <= 0
    (Porque $ |x| = x $ para $ x \geq 0 $)

Passo 6

Vamos resolver cada integral:
  1. Primeira Integral:
    integral (-x - x^2) , dx = -12x^2 - 13x^3 + C
    Avaliando de $ -3 $ a $ -1 $:
    -3
  2. Segunda Integral:
    -1
    Avaliando de $ -1 $ a $ 0 $:
    [ -12(-1)^2 - 13(-1)^3 ] - [ -12(-3)^2 - 13(-3)^3 ] = ( -12 + 13 ) - ( -92 + 9 ) = -12 + 13 + 92 - 9 = 56
    Mas como estamos calculando área, consideramos o valor absoluto, então $ \frac{1}{6} $.
  3. Terceira Integral:
    integral (x^2 + x) , dx = 13x^3 + 12x^2 + C
    Avaliando de $ 0 $ a $ 1 $:
    -1
  4. Quarta Integral:
    0
    Avaliando de $ 1 $ a $ 3 $:
    ( 0 + 0 ) - ( 13(-1)^3 + 12(-1)^2 ) = 0 - ( -13 + 12 ) = 13 - 12 = -16

Passo 7

Agora, somamos todas as áreas calculadas:
Área Total = 56 + 16 + 16 + 143 = 5 + 1 + 1 + 286 = 356 approx 5,!83 Á

Resposta

A área da região entre os gráficos de $ y = |x| $ e $ y = x^{2} $ no intervalo de $ -3 \leq x \leq 3 $ é $ \frac{35}{6} $ unidades quadradas, o que corresponde aproximadamente a $ 5,!83 $ unidades quadradas.

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