Resolva os itens abaixo:
Calcule a área da região entre os gráficos de
e
, com
Calcule a área da região entre os gráficos de
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Precisamos calcular a área da região que fica entre os gráficos das funções $ y = |x| $ e $ y = x^{2} $ no intervalo de $ -3 \leq x \leq 3 $. Para resolver isso, vamos utilizar conhecimentos de cálculo, especificamente a integração, que nos ajuda a encontrar áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde essas duas funções se encontram, ou seja, encontrar os pontos de interseção. Isso nos ajuda a entender em quais intervalos uma função está acima da outra.
Resolvemos $ |x| = x^{2} $:
-
Para $ x \geq 0 $:
-
Para $ x \leq 0 $:
Então, os pontos de interseção são $ x = -1 $, $ x = 0 $ e $ x = 1 $.
Passo 3
Agora, vamos analisar qual função está acima da outra em cada intervalo determinado pelos pontos de interseção:
-
Intervalo $ -3 \leq x \leq -1 $:
- $ y = |x| $ está acima de $ y = x^{2} $.
-
Intervalo $ -1 \leq x \leq 0 $:
- $ y = x^{2} $ está acima de $ y = |x| $.
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Intervalo $ 0 \leq x \leq 1 $:
- $ y = |x| $ está acima de $ y = x^{2} $.
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Intervalo $ 1 \leq x \leq 3 $:
- $ y = x^{2} $ está acima de $ y = |x| $.
Passo 4
Para calcular a área entre as curvas, vamos integrar a diferença entre a função de cima e a função de baixo em cada intervalo. Então, temos quatro integrais a calcular:
Passo 5
Vamos calcular cada integral separadamente:
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Primeira Integral ($ -3 \leq x \leq -1 $):(Porque $ |x| = -x $ para $ x \leq 0 $)
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Segunda Integral ($ -1 \leq x \leq 0 $):(Porque $ |x| = -x $ para $ x \leq 0 $)
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Terceira Integral ($ 0 \leq x \leq 1 $):(Porque $ |x| = x $ para $ x \geq 0 $)
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Quarta Integral ($ 1 \leq x \leq 3 $):(Porque $ |x| = x $ para $ x \geq 0 $)
Passo 6
Vamos resolver cada integral:
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Primeira Integral:Avaliando de $ -3 $ a $ -1 $:
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Segunda Integral:Avaliando de $ -1 $ a $ 0 $:Mas como estamos calculando área, consideramos o valor absoluto, então $ \frac{1}{6} $.
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Terceira Integral:Avaliando de $ 0 $ a $ 1 $:
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Quarta Integral:Avaliando de $ 1 $ a $ 3 $:
Passo 7
Agora, somamos todas as áreas calculadas:
Resposta
A área da região entre os gráficos de $ y = |x| $ e $ y = x^{2} $ no intervalo de $ -3 \leq x \leq 3 $ é $ \frac{35}{6} $ unidades quadradas, o que corresponde aproximadamente a $ 5,!83 $ unidades quadradas.