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y^{\prime}+y=\sin (t) \quad, \quad y(0)=1
y^{\prime}+y=\sin (t) \quad, \quad y(0)=1
Passo 1
A questão pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y’ + y = sin(t) com condição inicial y(0)=1. O conteúdo aqui é equação linear de 1º ordem, e vamos usar o método do fator integrante para achar y(t).
y’ + y = sin(t) com condição inicial y(0)=1. O conteúdo aqui é equação linear de 1º ordem, e vamos usar o método do fator integrante para achar y(t).
Passo 2
Escrevendo no formato padrão y’ + p(t)y = g(t), identificamos p(t)=1 e g(t)=sin(t).
Passo 3
Calculamos o fator integrante
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação original por
:
O lado esquerdo é exatamente a derivada de
, ou seja,
.
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a t:
Isso dá
Passo 6
Agora calculamos
por partes (duas vezes), chegando a
Passo 7
Substituindo de volta em
, temos
Passo 8
Isolando y(t):
Passo 9
Aplicamos a condição inicial y(0)=1: