[
y^{\prime}+y=\sin (t) \quad, \quad y(0)=1

Passo 1

A questão pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y’ + y = sin(t) com condição inicial y(0)=1. O conteúdo aqui é equação linear de 1º ordem, e vamos usar o método do fator integrante para achar y(t).

Passo 2

Escrevendo no formato padrão y’ + p(t)y = g(t), identificamos p(t)=1 e g(t)=sin(t).

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(t) = e^integral p(t),dt = e^integral 1,dt = e^t

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação original por mu(t)=e^t:
e^t y' + e^t y = e^t sin(t)
O lado esquerdo é exatamente a derivada de e^t y, ou seja, ddt(e^t y).

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
integral ddt(e^t y),dt = integral e^t sin(t),dt
Isso dá
e^t y = integral e^t sin(t),dt + C

Passo 6

Agora calculamos integral e^t sin(t),dt por partes (duas vezes), chegando a
integral e^t sin(t),dt = e^t2l(sin(t) - cos(t)r) + C

Passo 7

Substituindo de volta em e^t y, temos
e^t y = e^t2(sin t - cos t) + C

Passo 8

Isolando y(t):
y = 12(sin t - cos t) + C e^-t

Passo 9

Aplicamos a condição inicial y(0)=1:
1 = 12(0 - 1) + C Longrightarrow 1 = -12 + C ;Longrightarrow; C = 32

Resposta

y(t) = 12l(sin t - cos tr) + 32,e^-t

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