(V ou F) Classifique as afirmações abaixo como verdadeiras (V) ou falsas (F):
a. Toda EDO linear homogênea possui sempre uma solução única para qualquer condição inicial.
b. A equação y^prime prime+sin (y)=0 é não linear.
c. O método do fator integrante pode ser usado para resolver qualquer EDO de segunda ordem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para classificarmos três afirmações como verdadeiras (V) ou falsas (F) relacionadas a Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) lineares e não lineares. Para resolver, precisamos entender o que são EDOs lineares e não lineares, além de conhecer alguns métodos para resolvê-las.

Passo 2

Afirmação a: "Toda EDO linear homogênea possui sempre uma solução única para qualquer condição inicial."
Primeiro, vamos entender o que é uma EDO linear homogênea. Uma EDO é linear se pode ser escrita na forma:
an(x)y^(n) + an-1(x)y^(n-1) + dots + a1(x)y' + a0(x)y = 0
Homogênea significa que não há termo independente (ou seja, o lado direito é zero).
Agora, sobre a solução única: Em teoria, uma EDO linear de ordem $ n $ possui uma solução geral que contém $ n $ constantes de integração. Para condições iniciais bem definidas (por exemplo, valores de $ y $ e suas derivadas até a ordem $ n-1 $ em um ponto específico), existe uma única solução que satisfaz essas condições.
Portanto, a afirmação a é verdadeira (V).

Passo 3

Afirmação b: "A equação $ y’’ + \sin(y) = 0 $ é não linear."
Vamos analisar a equação: $ y’’ + \sin(y) = 0 $.
Uma EDO é linear se todas as ocorras de $ y $ e suas derivadas são de primeiro grau e não estão multiplicadas umas pelas outras. Na equação dada, temos o termo $ \sin(y) $, que é uma função não linear de $ y $.
Portanto, a afirmação b é verdadeira (V).

Passo 4

Afirmação c: "O método do fator integrante pode ser usado para resolver qualquer EDO de segunda ordem."
O método do fator integrante é uma técnica usada principalmente para resolver EDOs de primeira ordem, especialmente equações lineares. Para EDOs de segunda ordem, existem outros métodos mais apropriados, como o método da variação dos parâmetros ou busca por soluções particulares e complementares.
Portanto, a afirmação c é falsa (F).

Resposta

a. V
b. V
c. F

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