Resolva os itens abaixo:
Dada a função f(x)=5 e^x+x^2 cos x-1, calcule f^prime(0) e $\left(f{-1}\right){\prime}(4);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função $ f(x) = 5 e^{x} + x^{2} \cos x - 1 $ e precisa calcular duas coisas: a derivada dessa função no ponto $ x = 0 $, que é $ f^{\prime}(0) $, e a derivada da função inversa de $ f $ no ponto onde $ f^{-1}(4) $, ou seja, $ \left(f{-1}\right){\prime}(4) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas de funções e a regra da cadeia para funções inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos diz como a função está mudando em cada ponto. Para derivar $ f(x) = 5 e^{x} + x^{2} \cos x - 1 $, usamos as regras básicas de derivação:
  1. A derivada de $ e^{x} $ é $ e^{x} $.
  2. Para $ x^{2} \cos x $, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de $ u \cdot v $ é $ u’ \cdot v + u \cdot v’ $.
  3. A derivada de uma constante como $ -1 $ é zero.
Então, aplicando essas regras:
f(x)
Simplificando:
f(x) = 5 e^x + x^2 cos x - 1

Passo 3

Agora que temos a expressão para $ f^{\prime}(x) $, vamos calcular $ f^{\prime}(0) $. Isso significa substituir $ x $ por $ 0 $ na derivada:
f^prime(x)
Sabemos que $ e^{0} = 1 $, $ \cos 0 = 1 $ e $ \sin 0 = 0 $. Então:
f^prime(0)

Passo 4

Agora vamos calcular $ \left(f{-1}\right){\prime}(4) $, a derivada da função inversa de $ f $ no ponto $ 4 $. Para isso, usamos a fórmula da derivada da função inversa:
(f^-1)^prime(4)
onde $ y = f(x) $ e $ x = f^{-1}(y) $. Primeiro, precisamos encontrar o valor de $ x $ tal que $ f(x) = 4 $. Vamos resolver:
f
4
(f^-1)^prime(y) = 1f^prime(x)
Testando $ x = 0 $:
y = f(x)
Então, $ x = 0 $ é a solução. Agora, usando a fórmula da derivada da função inversa:
x = f^-1(y)

Resposta

$ f^{\prime}(0) = 5 $ e $ \left(f{-1}\right){\prime}(4) = \dfrac{1}{5} $.

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