Resolva os itens abaixo:
Dada a função
, calcule
e $\left(f{-1}\right){\prime}(4);
Dada a função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função $ f(x) = 5 e^{x} + x^{2} \cos x - 1 $ e precisa calcular duas coisas: a derivada dessa função no ponto $ x = 0 $, que é $ f^{\prime}(0) $, e a derivada da função inversa de $ f $ no ponto onde $ f^{-1}(4) $, ou seja, $ \left(f{-1}\right){\prime}(4) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas de funções e a regra da cadeia para funções inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos diz como a função está mudando em cada ponto. Para derivar $ f(x) = 5 e^{x} + x^{2} \cos x - 1 $, usamos as regras básicas de derivação:
- A derivada de $ e^{x} $ é $ e^{x} $.
- Para $ x^{2} \cos x $, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de $ u \cdot v $ é $ u’ \cdot v + u \cdot v’ $.
- A derivada de uma constante como $ -1 $ é zero.
Então, aplicando essas regras:
Simplificando:
Passo 3
Agora que temos a expressão para $ f^{\prime}(x) $, vamos calcular $ f^{\prime}(0) $. Isso significa substituir $ x $ por $ 0 $ na derivada:
Sabemos que $ e^{0} = 1 $, $ \cos 0 = 1 $ e $ \sin 0 = 0 $. Então:
Passo 4
Agora vamos calcular $ \left(f{-1}\right){\prime}(4) $, a derivada da função inversa de $ f $ no ponto $ 4 $. Para isso, usamos a fórmula da derivada da função inversa:
onde $ y = f(x) $ e $ x = f^{-1}(y) $. Primeiro, precisamos encontrar o valor de $ x $ tal que $ f(x) = 4 $. Vamos resolver:
Testando $ x = 0 $:
Então, $ x = 0 $ é a solução. Agora, usando a fórmula da derivada da função inversa:
Resposta
$ f^{\prime}(0) = 5 $ e $ \left(f{-1}\right){\prime}(4) = \dfrac{1}{5} $.