Seja f: R^n R^m. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes:
  1. A função f é contínua, ou seja, dado x in R^n e epsilon>0, existe de<a>0 tal que se y in R^n é tal que |y-x|<de<a, então |f(y)-f(x)|<epsilon.
  2. Dado qualquer x in R^n e qualquer aberto U subset R^m que contenha f(x), existe um aberto V subset R^n que contém x tal que f(V)=f(x) in R^m, x in V subset U.
  3. Dado qualquer conjunto aberto U subset R^m, o conjunto f^-1(U)=x in R^n ; f(x) in U é aberto de R^n.
  4. Dado qualquer conjunto fechado F subset R^m, o conjunto f^-1(F)=x in R^n ; f(x) in F é fechado de R^n. (Dica: Prove que f^-1(X^c)=(f^-1(X))^c).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as quatro maneiras de definir continuidade de uma função
f:R^ntoR^m
são equivalentes. Essas definições são
1) a definição epsilon- de<a;
2) continuidade em termos de imagens de vizinhanças abertas;
3) pré-imagem de qualquer aberto é aberto;
4) pré-imagem de qualquer fechado é fechado.

Passo 2

Mostramos que ( 1) implica ( 2).
Suponha que f satisfaz a definição epsilon- de<a. Dado xinR^n e um aberto UsubsetR^m com f(x)in U, existe epsilon>0 tal que
Bepsilonl(f(x)r);subset;U
Pela continuidade de f em x, existe de<a>0 tal que, se |y-x|<de<a, então
|f(y)-f(x)|<epsilon, ou seja, f(y)in Bepsilon(f(x))subset U.
Basta então tomar
V = Bde<a(x),
que é aberto, contém x e satisfaz f(V)subset U.

Passo 3

Mostramos que (2) implica (1).
Dado xinR^n e epsilon>0, considere
U = Bepsilonl(f(x)r),
que é aberto em R^m e contém f(x). Pelo item (2), existe um aberto VsubsetR^n contendo x tal que f(V)subset U. Como V é aberto em R^n, existe de<a>0 com
Bde<a(x);subset;V
Logo, se |y-x|<de<a então yin V e assim f(y)in U, i.e.\ |f(y)-f(x)|<epsilon. Isso é justamente a definição epsilon- de<a.

Passo 4

Mostramos que ( 1) implica ( 3).
Seja UsubsetR^m aberto. Queremos ver que
f^-1(U) é aberto em R^n.
Tomemos xin f^-1(U); então f(x)in U. Como U é aberto, existe epsilon>0 tal que
Bepsilonl(f(x)r);subset;U
Pela continuidade epsilon- de<a, há de<a>0 tal que |y-x|<de<a implica f(y)in Bepsilon(f(x))subset U. Logo
Bde<a(x);subset;f^-1(U),
o que mostra que cada ponto de f^-1(U) tem uma vizinhança contida nele; portanto f^-1(U) é aberto.

Passo 5

Mostramos que ( 3) implica ( 2).
Dado xinR^n e um aberto UsubsetR^m com f(x)in U, sabemos por ( 3) que
f^-1(U)
é um aberto em R^n contendo x. Basta então escolher
V = f^-1(U)
para concluir f(V)subset U.

Passo 6

Mostramos que ( 3) e ( 4) são equivalentes usando complemento. Para qualquer XsubsetR^m vale
f^-1l(X^cr) ;=; l,x : f(x)in X^cr ;=; l,x : f(x)notin Xr ;=; l(f^-1(X)r)^c
Assim, se para todo aberto U a pré-imagem f^-1(U) é aberta, então para qualquer fechado F=U^c a pré-imagem
f^-1(F)=f^-1(U^c)=(f^-1(U))^c
é fechada, e vice-versa.

Resposta

Mostramos as cadeias de implicação
(1)Leftrightarrow(2), (1)Rightarrow(3)Rightarrow(2), (3)Leftrightarrow(4),
provando que todas as quatro afirmações são equivalentes.

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