Seja
. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes:
- A função
é contínua, ou seja, dado
e
, existe
tal que se
é tal que
, então
.
- Dado qualquer
e qualquer aberto
que contenha
, existe um aberto
que contém
tal que
.
- Dado qualquer conjunto aberto
, o conjunto
é aberto de
.
- Dado qualquer conjunto fechado
, o conjunto
é fechado de
. (Dica: Prove que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as quatro maneiras de definir continuidade de uma função
são equivalentes. Essas definições são
) a definição
-
;
) continuidade em termos de imagens de vizinhanças abertas;
) pré-imagem de qualquer aberto é aberto;
) pré-imagem de qualquer fechado é fechado.
são equivalentes. Essas definições são
Passo 2
Mostramos que (
) implica (
).
Suponha que satisfaz a definição
-
. Dado
e um aberto
com
, existe
tal que
Suponha que
Pela continuidade de
em
, existe
tal que, se
, então
, ou seja,
.
Basta então tomar
Basta então tomar
que é aberto, contém
e satisfaz
.
Passo 3
Mostramos que
implica
.
Dado e
, considere
Dado
que é aberto em
e contém
. Pelo item
, existe um aberto
contendo
tal que
. Como
é aberto em
, existe
com
Logo, se
então
e assim
, i.e.\
. Isso é justamente a definição
-
.
Passo 4
Mostramos que (
) implica (
).
Seja aberto. Queremos ver que
é aberto em
.
Tomemos ; então
. Como
é aberto, existe
tal que
Seja
Tomemos
Pela continuidade
-
, há
tal que
implica
. Logo
o que mostra que cada ponto de
tem uma vizinhança contida nele; portanto
é aberto.
Passo 5
Mostramos que (
) implica (
).
Dado e um aberto
com
, sabemos por (
) que
Dado
é um aberto em
contendo
. Basta então escolher
para concluir
.
Passo 6
Mostramos que (
) e (
) são equivalentes usando complemento. Para qualquer
vale
Assim, se para todo aberto
a pré-imagem
é aberta, então para qualquer fechado
a pré-imagem
é fechada, e vice-versa.
é fechada, e vice-versa.
Resposta
Mostramos as cadeias de implicação
provando que todas as quatro afirmações são equivalentes.