Resolva os itens abaixo.
Para a função
f(x, y)=e^{y / x}
determine a equação da curva de nível correspondente a f(x, y)=e^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=e^{y/x} e pede a equação da curva de nível correspondente a f(x,y)=e^{2}.
Informações relevantes:
  • A função é f(x,y)=e^{y/x}.
  • A condição de nível é f(x,y)=e^{2}.
  • Domínio natural da função: x\neq0 (porque há divisão por x).

Passo 2

O que é uma curva de nível?
  • Uma curva de nível para uma função de duas variáveis f(x,y) e uma constante C é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem f(x,y)=C.
    Aqui queremos todos os (x,y) tais que e^{y/x}=e^{2}.
Para resolver equações com exponencial, usamos a propriedade básica da função exponencial: se e^{a}=e^{b} para números reais a e b, então a=b. Outra forma é aplicar o logaritmo natural: \ln(e^{t})=t.

Passo 3

Aplicando \ln em ambos os lados da equação e^{y/x}=e^{2} obtemos:
\ln\!\bigl(e^{y/x}\bigr)=\ln\!\bigl(e^{2}\bigr).
Usando \ln(e^{t})=t em cada lado:
\frac{y}{x}=2.

Passo 4

Agora isolamos y. Multiplicando ambos os lados por x (lembrando que x\neq0):
y=2x.
Observação sobre o domínio: a linha y=2x passa por (0,0), mas esse ponto não pertence ao domínio de f porque x=0 torna f indefinida. Portanto a curva de nível é a reta y=2x restringida a x\neq0, ou seja o conjunto \{(x,y)\in\mathbb{R}^2: y=2x,\;x\neq0\}.

Passo 5

Verificação rápida (exemplo concreto): para x=1 temos y=2 e f(1,2)=e^{2/1}=e^{2}. Para x=-1 temos y=-2 e f(-1,-2)=e^{(-2)/(-1)}=e^{2}. Ambos satisfazem a condição e confirmam que a relação y=2x é correta (exceto no ponto x=0, que não pertence ao domínio).

Resposta

y=2x,\; x\neq0

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