Resolva os itens abaixo.
Para a função
determine a equação da curva de nível correspondente a
.
Para a função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a equação da curva de nível correspondente a
.
Informações relevantes:
- A função é
. - A condição de nível é
. - Domínio natural da função:
(porque há divisão por ).
Passo 2
O que é uma curva de nível?
- Uma curva de nível para uma função de duas variáveis
e uma constante é o conjunto de pontos que satisfazem .
Aqui queremos todos ostais que .
Para resolver equações com exponencial, usamos a propriedade básica da função exponencial: se
para números reais
e
, então
. Outra forma é aplicar o logaritmo natural:
.
Passo 3
Aplicando
em ambos os lados da equação
obtemos:
Usando
em cada lado:
Passo 4
Agora isolamos
. Multiplicando ambos os lados por
(lembrando que
):
Observação sobre o domínio: a linha
passa por
, mas esse ponto não pertence ao domínio de
porque
torna
indefinida. Portanto a curva de nível é a reta
restringida a
, ou seja o conjunto
.
Passo 5
Verificação rápida (exemplo concreto): para
temos
e
. Para
temos
e
. Ambos satisfazem a condição e confirmam que a relação
é correta (exceto no ponto
, que não pertence ao domínio).