Questão contextual. O raio r de um cone circular reto aumenta à taxa de 4,6 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}, enquanto sua altura h decresce à taxa de 6,5 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. No instante considerado,
r=300 \mathrm{~cm}, \quad h=350 \mathrm{~cm}
a) Modele o volume V do cone em função de r e h.
b) Determine a taxa de variação do volume nesse instante.

Passo 1

O enunciado dá uma situação com um cone circular reto em que o raio e a altura mudam com o tempo e pede duas coisas:
  • a) Modelar o volume V do cone em função de r e h.
  • b) Determinar a taxa de variação do volume \dfrac{dV}{dt} no instante em que r=300\\ \mathrm{cm},\qquad h=350\\ \mathrm{cm},sabendo que as taxas são \frac{dr}{dt}=4{,}6\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s}\quad(\text{raio aumentando})e \frac{dh}{dt}=-6{,}5\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s}\quad(\text{altura decrescendo}),onde notei que o sinal negativo em \dfrac{dh}{dt} significa que h está diminuindo.

Passo 2

Modelo do volume: a fórmula padrão para o volume de um cone circular reto é
V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h.
Explicando: aqui
  • V é o volume do cone (em \mathrm{cm}^{3}),
  • r é o raio da base (em \mathrm{cm}),
  • h é a altura do cone (em \mathrm{cm}),
  • \pi é a constante \simeq 3{,}14159.
    A fórmula vem de dividir a base (área \pi r^2) multiplicada pela altura por 3, porque o cone ocupa um terço do cilindro de mesma base e mesma altura.

Passo 3

Vamos encontrar a taxa de variação do volume em função do tempo: aqui r=r(t) e h=h(t), então V depende de t através de r e h. Diferenciamos ambos os lados em relação a t. Antes, recorde rápido do produto e da cadeia:
  • Regra do produto: se u(t) e v(t) são funções, \dfrac{d}{dt}[u v]=u'\,v+u\,v'.
  • Regra da cadeia aplicada a r^{2}: \dfrac{d}{dt}[r^{2}]=2r\dfrac{dr}{dt}.
Aplicando essas regras a V=\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h:
\frac{dV}{dt}=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{d}{dt}\big(r^{2}h\big).
Usando a regra do produto para r^{2} e h:
\frac{d}{dt}\big(r^{2}h\big)=\big(2r\frac{dr}{dt}\big)h + r^{2}\frac{dh}{dt}.
Portanto
\frac{dV}{dt}=\frac{1}{3}\pi\left(2r h\frac{dr}{dt} + r^{2}\frac{dh}{dt}\right).
Cada termo tem unidade \mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}: por exemplo r h \dfrac{dr}{dt} é \mathrm{cm}\cdot\mathrm{cm}\cdot(\mathrm{cm}/\mathrm{s})=\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos fornecidos:
r=300,\quad h=350,\quad \frac{dr}{dt}=4{,}6,\quad \frac{dh}{dt}=-6{,}5,
onde todas as grandezas estão em \mathrm{cm} e \mathrm{cm}/\mathrm{s}. Calculamos os termos internos passo a passo.
Calcule 2r h\frac{dr}{dt}:
2r h\frac{dr}{dt}=2\cdot 300\cdot 350\cdot 4{,}6.
Primeiro 2\cdot300=600. Então 600\cdot350=210000. Finalmente 210000\cdot4{,}6=966000.
Calcule r^{2}\frac{dh}{dt}:
r^{2}\frac{dh}{dt}=300^{2}\cdot(-6{,}5)=90000\cdot(-6{,}5)=-585000.
Some os dois termos:
2r h\frac{dr}{dt}+r^{2}\frac{dh}{dt}=966000-585000=381000.
Agora multiplique por \dfrac{1}{3}\pi:
\frac{dV}{dt}=\frac{1}{3}\pi\cdot 381000 = 127000\pi\\ \mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}.

Passo 5

Interpretação e aproximação numérica: o resultado exato é \dfrac{dV}{dt}=127000\pi\\ \mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}. Em valor decimal aproximado,
127000\pi\approx 3{,}99\times 10^{5}\\ \mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}.
O sinal positivo indica que, apesar da altura estar diminuindo, o aumento do raio é grande o suficiente para que o volume do cone esteja aumentando naquele instante — bom ponto para observar na prova.

Resposta

(a) \displaystyle V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h
(b) \displaystyle \frac{dV}{dt}=127000\pi\\ \mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}\approx 3{,}99\times10^{5}\\ \mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}

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