Questão contextual. O raio
de um cone circular reto aumenta à taxa de
, enquanto sua altura
decresce à taxa de
. No instante considerado,
a) Modele o volume
do cone em função de
e
.
b) Determine a taxa de variação do volume nesse instante.
b) Determine a taxa de variação do volume nesse instante.
Passo 1
O enunciado dá uma situação com um cone circular reto em que o raio e a altura mudam com o tempo e pede duas coisas:
- a) Modelar o volume
do cone em função de e . - b) Determinar a taxa de variação do volume
no instante em que sabendo que as taxas são e onde notei que o sinal negativo em significa que está diminuindo.
Passo 2
Modelo do volume: a fórmula padrão para o volume de um cone circular reto é
Explicando: aqui
-
é o volume do cone (em ), -
é o raio da base (em ), -
é a altura do cone (em ), -
é a constante .
A fórmula vem de dividir a base (área) multiplicada pela altura por , porque o cone ocupa um terço do cilindro de mesma base e mesma altura.
Passo 3
Vamos encontrar a taxa de variação do volume em função do tempo: aqui
e
, então
depende de
através de
e
. Diferenciamos ambos os lados em relação a
. Antes, recorde rápido do produto e da cadeia:
- Regra do produto: se
e são funções, . - Regra da cadeia aplicada a
: .
Aplicando essas regras a
:
Usando a regra do produto para
e
:
Portanto
Cada termo tem unidade
: por exemplo
é
.
Passo 4
Agora substituímos os valores numéricos fornecidos:
onde todas as grandezas estão em
e
. Calculamos os termos internos passo a passo.
Calcule
:
Primeiro
. Então
. Finalmente
.
Calcule
:
Some os dois termos:
Agora multiplique por
:
Passo 5
Interpretação e aproximação numérica: o resultado exato é
. Em valor decimal aproximado,
O sinal positivo indica que, apesar da altura estar diminuindo, o aumento do raio é grande o suficiente para que o volume do cone esteja aumentando naquele instante — bom ponto para observar na prova.
Resposta
(a)
(b)
(b)