Resolva os itens abaixo.
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de
z=x e^{3 y}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
z = x e^{3y}.
As perguntas são:
  • Calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}.
  • Calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}.
Informações dadas:
  • A função depende de duas variáveis independentes: x e y.
  • A expressão explícita é z(x,y)=x e^{3y}.

Passo 2

O que é derivada parcial? Vou explicar de forma prática e tranquila.
  • A derivada parcial de z em relação a x, denotada \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}, mede a taxa de variação de z quando só x muda e y fica fixo. Formalmente,
\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{z(x+h,y)-z(x,y)}{h}.
  • A derivada parcial em relação a y, denotada \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}, mede a taxa de variação de z quando só y muda e x fica fixo. Formalmente,
\frac{\partial z}{\partial y}(x,y)=\lim_{k\to 0}\frac{z(x,y+k)-z(x,y)}{k}.
Além disso, dois fatos úteis que vou usar:
  1. Se, ao derivar em relação a x, uma expressão depende de y apenas como fator multiplicativo (ou de forma que não varia com x), então esse fator pode ser tratado como constante.
  2. Regra da cadeia para exponencial: se u(y) é uma função de y, então
\frac{d}{dy}e^{u(y)} = e^{u(y)} \cdot u'(y).

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}.
Trate y como constante. Podemos usar a definição ou o raciocínio direto: z(x,y)=x\cdot e^{3y} é o produto de x por e^{3y}, mas e^{3y} não depende de x, então é uma constante quando diferenciamos em relação a x. A derivada de x em relação a x é 1. Assim,
\frac{\partial z}{\partial x}(x,y) = 1\cdot e^{3y} = e^{3y}.
(se preferir, pela definição: z(x+h,y)=(x+h)e^{3y}=x e^{3y}+h e^{3y}, dividir por h e limitar quando h\to0 e^{3y}.)

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}.
Agora trate x como constante. Temos z(x,y)=x\cdot e^{3y}. Como x é constante, ele sai como fator multiplicativo, e precisamos derivar e^{3y} em relação a y. Aplicando a regra da cadeia com u(y)=3y e u'(y)=3, obtemos
\frac{d}{dy}e^{3y} = e^{3y}\cdot 3 = 3e^{3y}.
Multiplicando pelo fator constante x,
\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) = x \cdot 3 e^{3y} = 3x e^{3y}.
(Para ver pela definição: z(x,y+k)=x e^{3(y+k)}=x e^{3y}e^{3k}. O quociente incrementa para x e^{3y}\dfrac{e^{3k}-1}{k} e, ao limite k\to0, \dfrac{e^{3k}-1}{k}\to3, resultando em 3x e^{3y}.)

Passo 5

Pequena verificação numérica para motivar a intuição (opcional e encorajador):
  • Se x=2 e y=0, então z=2e^{0}=2.
  • \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}(2,0)=e^{0}=1 indica que, mantendo y=0, um aumento pequeno de x aumenta z aproximadamente na mesma quantidade.
  • \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}(2,0)=3\cdot 2\cdot e^{0}=6 indica que, mantendo x=2, z aumenta muito mais rápido quando y cresce (porque o exponencial cresce).
Você está mandando bem — esses passos são exatamente os que costumam cair na prova: identificar a variável que varia, tratar a outra como constante, aplicar derivada básica e regra da cadeia quando aparece exponencial.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=e^{3y}
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=3x e^{3y}

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