Resolva os itens abaixo.
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
As perguntas são:
- Calcular
. - Calcular
.
Informações dadas:
- A função depende de duas variáveis independentes:
e . - A expressão explícita é
.
Passo 2
O que é derivada parcial? Vou explicar de forma prática e tranquila.
- A derivada parcial de
em relação a , denotada , mede a taxa de variação de quando só muda e fica fixo. Formalmente,
- A derivada parcial em relação a
, denotada , mede a taxa de variação de quando só muda e fica fixo. Formalmente,
Além disso, dois fatos úteis que vou usar:
- Se, ao derivar em relação a
, uma expressão depende de apenas como fator multiplicativo (ou de forma que não varia com ), então esse fator pode ser tratado como constante. - Regra da cadeia para exponencial: se
é uma função de , então
Passo 3
Cálculo de
.
Trate
como constante. Podemos usar a definição ou o raciocínio direto:
é o produto de
por
, mas
não depende de
, então é uma constante quando diferenciamos em relação a
. A derivada de
em relação a
é
. Assim,
(se preferir, pela definição:
, dividir por
e limitar quando
dá
.)
Passo 4
Cálculo de
.
Agora trate
como constante. Temos
. Como
é constante, ele sai como fator multiplicativo, e precisamos derivar
em relação a
. Aplicando a regra da cadeia com
e
, obtemos
Multiplicando pelo fator constante
,
(Para ver pela definição:
. O quociente incrementa para
e, ao limite
,
, resultando em
.)
Passo 5
Pequena verificação numérica para motivar a intuição (opcional e encorajador):
- Se
e , então . -
indica que, mantendo , um aumento pequeno de aumenta aproximadamente na mesma quantidade. -
indica que, mantendo , aumenta muito mais rápido quando cresce (porque o exponencial cresce).
Você está mandando bem — esses passos são exatamente os que costumam cair na prova: identificar a variável que varia, tratar a outra como constante, aplicar derivada básica e regra da cadeia quando aparece exponencial.