Resolva os itens a seguir:
Considere o conjunto X dado por
X=x in R:|x-1|<alpha
em que alpha é um número real. Verifique que se alpha in[0,1] então para todo x in X teremos
|x^2-1|<3

Passo 1

O enunciado define
X = xinR : |x-1|<alpha
com alphain[0,1], e pede para mostrar que todo xin X satisfaz
|x^2-1|<3
O conteúdo necessário envolve a fatoração x^2-1=(x-1)(x+1) e estimativas de intervalo para x e x+1.

Passo 2

Como |x-1|<alpha e alpha<=1, obtemos
-1< x-1<1 Longrightarrow 0< x<2
Logo
1 < x+1 < 3 Longrightarrow |x+1| < 3

Passo 3

Fatorando obtemos
|x^2-1| = |x-1|;|x+1|
Pelo que já vimos, |x-1|<alpha<=1 e |x+1|<3. Portanto
|x^2-1| < 1 cdot 3 = 3,
que é justamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

Para todo alphain[0,1] e todo xin X tem-se |x^2-1|<3.

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