Resolva os itens a seguir:
Considere o conjunto
dado por
em que
é um número real. Verifique que se
então para todo
teremos
Considere o conjunto
Passo 1
O enunciado define
com
alphain[0,1] , e pede para mostrar que todo
xin X satisfaz
O conteúdo necessário envolve a fatoração
x^2-1=(x-1)(x+1) e estimativas de intervalo para
x e
x+1 .
Passo 2
Como
|x-1|<alpha e
alpha<=1 , obtemos
Logo
Passo 3
Fatorando obtemos
Pelo que já vimos,
|x-1|<alpha<=1 e
|x+1|<3 . Portanto
que é justamente o que queríamos demonstrar.
Resposta
Para todo
alphain[0,1] e todo
xin X tem-se
|x^2-1|<3 .