Resolva os itens a seguir:
Considere o conjunto
formado por todos os números reais
tais que
, ou seja,
Conclua que para todo
vale
.
Considere o conjunto
Passo 1
A questão nos dá o conjunto
e pede para mostrar que para todo
em
vale
. O conteúdo é manipulação de valores absolutos e desigualdades, e vamos precisar usar a fatoração
e a desigualdade triangular.
Passo 2
Como primeiro passo de cálculo, note que podemos escrever
como produto:
Passo 3
Sabendo que
, vamos agora achar um limite para
. Reescreva
e use a desigualdade triangular:
Passo 4
Por fim, combinando as duas estimativas temos:
Passo 5
Isso prova que para todo
temos
.
Resposta
Para todo x em X vale |x² − 1| < 3.