Resolva os itens a seguir:
Considere o conjunto X formado por todos os números reais x tais que |x-1|<1, ou seja,
X=x in R:|x-1|<1
Conclua que para todo x in X vale |x^2-1|<3.

Passo 1

A questão nos dá o conjunto X = x in R: |x-1|<1 e pede para mostrar que para todo x em X vale |x^2-1|<3. O conteúdo é manipulação de valores absolutos e desigualdades, e vamos precisar usar a fatoração x^2-1=(x-1)(x+1) e a desigualdade triangular.

Passo 2

Como primeiro passo de cálculo, note que podemos escrever x^2-1 como produto:
|x^2-1| = |(x-1)(x+1)| = |x-1|cdot|x+1|

Passo 3

Sabendo que |x-1|<1, vamos agora achar um limite para |x+1|. Reescreva x+1=(x-1)+2 e use a desigualdade triangular:
|x+1| = |(x-1)+2| <= |x-1| + |2| < 1 + 2 = 3

Passo 4

Por fim, combinando as duas estimativas temos:
|x^2-1| = |x-1|cdot|x+1| < 1 times 3 = 3

Passo 5

Isso prova que para todo xin X temos |x^2-1|<3.

Resposta

Para todo x em X vale |x² − 1| < 3.

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