Para cada um dos itens abaixo determine r^prime(t) e r^prime prime(t).
r(t)=(ln (1-t), sin t, t^2)

Passo 1

O enunciado pede para determinar r'(t) e r''(t) para a função vetorial
r(t) = l(ln(1-t),;sin t,;t^2r)
Vamos usar diferenciação componente a componente, aplicando:
– regra da cadeia na componente ln(1-t),
– derivada de sin t,
– derivada de t^2.

Passo 2

Para obter r'(t), diferenciamos cada componente:
ddtln(1-t) = 11-tcdot(-1) = -11-t.
ddtsin t = cos t.
ddtt^2 = 2t.
Portanto,
r'(t) = l(-tfrac11-t,;cos t,;2tr)

Passo 3

Para r''(t), diferenciamos r'(t) componente a componente:
ddtl(-11-tr) = -l(-1r)(1-t)^-2 = 1(1-t)^2.
ddtcos t = -sin t.
ddt(2t) = 2.
Logo,
r''(t) = l(tfrac1(1-t)^2,;-,sin t,;2r)

Resposta

r'(t) = l(-tfrac11-t,;cos t,;2tr), r''(t) = l(tfrac1(1-t)^2,;-,sin t,;2r)

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