Resolva:
\left\{\begin{array}{l}\dot{x}=2 x \\\ \dot{y}=x-y\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem acopladas:
\begin{cases} \dot{x}=2x,\\\ \dot{y}=x - y. \end{cases}
O conteúdo aqui é resolução de sistema linear via método de desacoplamento: primeiro resolvemos a equação para x(t) (que não depende de y), depois usamos essa solução para encontrar y(t).

Passo 2

Para resolver
\dot{x}=2x
reconhecemos uma EDO separável (ou homogênea com coeficiente constante). A solução geral é
x(t)=C_1 e^{2t},
onde C_1 é uma constante de integração.

Passo 3

Agora substituímos x(t)=C_1 e^{2t} na segunda equação
\dot{y}+y = x(t) = C_1 e^{2t}.
Isso é uma EDO linear não-homogênea de primeira ordem para y.

Passo 4

O fator integrante é e^{\int 1\,dt}=e^{t}. Multiplicando a equação por e^{t}, temos
e^{t}\dot{y} + e^{t}y = C_1 e^{3t} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{t}\bigr)=C_1 e^{3t}.
Integrando ambos os lados em relação a t,
y\,e^{t} = C_1\int e^{3t}dt + C_2 = \frac{C_1}{3}e^{3t} + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração.

Passo 5

Isolando y(t), obtemos
y(t) = \frac{C_1}{3}e^{2t} + C_2 e^{-t}.

Resposta

x(t)=C_1 e^{2t}, \quad y(t)=\frac{C_1}{3}e^{2t}+C_2 e^{-t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

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