Resolva:
\left\{\begin{array}{l}\dot{x}=y \\\ \dot{y}=-4 x+4 y\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear de primeira ordem
\begin{cases} \dot{x}=y,\\\ \dot{y}=-4x+4y, \end{cases}
e pede a solução geral (x(t),y(t)). O conteúdo principal é resolver sistemas lineares com coeficientes constantes. Para isso podemos transformar em uma única EDO de segunda ordem ou usar autovalores e autovetores.

Passo 2

Derivando a primeira equação temos \ddot{x}=\dot{y}. Como \dot{y}=-4x+4y e y=\dot{x}, substituímos para obter
\ddot{x}=-4x+4\dot{x}.
Reorganizando, chega-se à EDO de segunda ordem
\ddot{x}-4\dot{x}+4x=0.

Passo 3

A equação característica dessa EDO é
r^{2}-4r+4=0,
cuja única raiz dupla é r=2. Em caso de raiz repetida, a solução geral de x(t) é da forma
x(t)=(C_{1}+C_{2}\,t)e^{2t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 4

Para obter y(t), usamos y=\dot{x}. Calculando a derivada de
x(t)=(C_{1}+C_{2}\,t)e^{2t},
temos
\dot{x}(t) =C_{2}e^{2t}+(C_{1}+C_{2}t)\,2e^{2t} =\bigl(2C_{1}+C_{2}+2C_{2}t\bigr)e^{2t}.
Logo,
y(t)=\bigl(2C_{1}+C_{2}+2C_{2}t\bigr)e^{2t}.

Resposta

A solução geral do sistema é
x(t)=(C_{1}+C_{2}\,t)e^{2t}, \qquad y(t)=\bigl(2C_{1}+C_{2}+2C_{2}t\bigr)e^{2t},
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados