Resolva:
\left\{\begin{array}{l}\dot{x}=x-y \\\ \dot{y}=x+y\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear de equações diferenciais de primeira ordem com coeficientes constantes
\begin{cases} \dot{x}=x-y,\\\ \dot{y}=x+y. \end{cases}
O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares através de matriz de coeficientes, autovalores e autovetores.

Passo 2

Escrevemos o sistema em forma matricial \dot{\mathbf{u}}=A\mathbf{u}, onde
\mathbf{u}=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix},\quad A=\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 1 & 1\end{pmatrix}.
Procuramos os autovalores \lambda de A resolvendo
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}1-\lambda & -1\\\ 1 & 1-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)^2+1=0.
Logo
\lambda=1\pm i.

Passo 3

Para \lambda=1+i resolvemos (A-\lambda I)\mathbf{v}=0. Isso dá
\bigl[(1-(1+i))\;\; -1;\;1\;\;(1-(1+i))\bigr] \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-i & -1\\\ 1 & -i\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix}=0,
de onde v_2=-i\,v_1. Tomando v_1=1, um autovetor complexo é
\mathbf{v}=\begin{pmatrix}1\\\ -i\end{pmatrix}.
A solução complexa associada é
e^{(1+i)t}\begin{pmatrix}1\\\ -i\end{pmatrix} =e^t\begin{pmatrix}\cos t+i\sin t\\\ -i\cos t+\sin t\end{pmatrix}.
Separamos parte real e imaginária para obter duas soluções reais fundamentais:
\mathbf{u}_1(t)=e^t\begin{pmatrix}\cos t\\sin t\end{pmatrix},\quad \mathbf{u}_2(t)=e^t\begin{pmatrix}-\sin t\\cos t\end{pmatrix}.

Passo 4

Como \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\} é base de soluções do sistema, a solução geral é combinação linear
\mathbf{u}(t) = C_1\,\mathbf{u}_1(t)+C_2\,\mathbf{u}_2(t) = e^t\begin{pmatrix} C_1\cos t - C_2\sin t\\[6pt] C_1\sin t + C_2\cos t \end{pmatrix},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais.]

Resposta

\begin{cases} x(t)=e^t\bigl(C_1\cos t - C_2\sin t\bigr),\\[4pt] y(t)=e^t\bigl(C_1\sin t + C_2\cos t\bigr), \end{cases}
com C_1,C_2\in\mathbb{R}.]

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